Sinussatz Cosinussatz. In einen Berg werden vom gleichen Punkt aus 2 geradlinige Stollen getrieben, die ...

Question

In einen Berg werden vom gleichen Punkt aus 2 geradlinige Stollen getrieben, die miteinander einen Winkel von 30 Grad einschließen. Der eine Stollen ist 5km der andere 7km lang. Wie weit sind die Endpunkte der Stollen voneinander entfernt und welche Winkel schließt die Verbindungslinie dieser Endpunkte mit den Stollen ein?

Answer 1

c^2 = 5^2 + 7^2 - 2·5·7·COS(30°) --> c = 3.658 km

Nun etwas Grundsätzliches

Das Dreieck muss nach dem Kongruenzsatz sws eindeutig sein. Der eingeschlossene Winkel ist 30° groß. Damit muss die Summe der beiden anderen Winkel zusammen 150°. D.h. einer ist über 75° und der andere unter 75°.

Mit dem Sinussatz bzw. mit dem SIN^{-1} bekommen wir nur Winkel im Bereich von 0° bis 90°. Daher ist es günstig hier mit dem kleineren Winkel zu beginnen. Der kleinere Winkel liegt der Seite mit der Seitenlänge 5 gegenüber.

SIN(α°)/5 = SIN(30°)/3.657625149 --> 43.1°

Der letzte Winkel ist dann
β = 180° - 30° - 43.1° = 106.9°

Diesen bekommt man leider nicht so direkt mit dem SIN^{-1}
SIN(β°)/7 = SIN(30°)/3.657625149 --> β1 = 73.1°
Das kann jetzt natürlich nicht sein. Aber die Sinusfunktion ist Symmetrisch zu 90° und daher erhalten wir den richtigen Winkel mit

β = 180° - 73.1° = 106.9°

Comments

SIN(α°)/5 = SIN(30°)/3.657625149 → 43.1°

Wie gibt man das in den Taschenrechner ein?

Answer 2

Kosinussatz

a^2=b^2+c^2-2bc*cos α

a^2=5^2+7^2-2*5*7*cos30°

     =74-70*√3/2

     =13,38

a=3,66km

Sinus Satz

sin α/3,66=sin β/7

sin 30°/3,66*7=sin β

β=arcsin(sin 30/3,66*7)≈73°

γ=180°-30°-73°=77°

Comments

Kann mal jemand prüfen ob meine Lösung richtig Ist?

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Ja. Deine Lösung ist leider nicht richtig wie, du richtig bemerkt hast. Das liegt aber an dem verzwickten Sinus und nicht an dir. Trotzdem muss man natürlich wissen wie man mit dem Sinus umgehen muss.

Daher hier mein Lösungsvorschlag.

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Super, ich danke dir vielmals!