Ist f in (0,0) stetig?

Question

Aufgabe:

Ist f in (0,0) stetig?

$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { falls } x>0 \text { und } y=x^{2} \\ 0, & \text { sonst. }\end{array}\right.$

Problem/Ansatz:

Also ich weiß das f definitiv nicht stetig sein kann an der Stelle (0,0), nur wie man das formal beweist fällt mir schwer. Für den Kontext, die vollständige Aufgabe:

Wir betrachten
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { falls } x>0 \text { und } y=x^{2} \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right.$
(a) Parametrisieren Sie alle durch den Ursprung $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ verlaufenden Geraden, stellen Sie also jede solche Gerade als Menge $\{\cdots \mid t \in \cdots\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ dar.
(c) Ist $f$ stetig in $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ ?

In b) haben wir gezeigt das es mit der Einschränkung von der Geraden stetig ist. Ein Ansatz von mir war jetzt folgender, dass man in c zeigt, dass unterschiedliche Grenzwerte angenommen werden und dass somit keine Stetigkeit vorliegt.

Nachtrag: b wurde irgendwie nicht mit konvertiert, wir haben eine Gerade betrachtet durch den Ursprung.

Answer 1

Aloha :)

Damit $f$ stetig in $\binom{0}{0}$ ist, müssen alle möglichen Wege zum Punkt $\binom{0}{0}$ zu demselben Funktionswert führen. Wir betrachten zwei verschiedene Wege und prüfen das nach:

$$\text{1. Weg:}\quad\binom{x_n}{x_n^2}\text{ mit } x_n=\frac1n\implies\lim\limits_{n\to\infty}f\binom{x_n}{x_n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}(1)=1$$

$$\text{2. Weg:}\quad\binom{x_n}{x_n}\text{ mit } x_n=\frac{1}{n+1}\implies\lim\limits_{n\to\infty}f\binom{x_n}{x_n}=\lim\limits_{n\to\infty}(0)=0$$

Der Nenner $(n+1)$ im zweiten Weg stellt sicher, dass $x_n<1$ ist, sodass wir den Sonderfall $1=1^2$ vermeiden.

Wir haben zwei unterschiedliche Wege zu $\binom{0}{0}$ angegeben, die zu unterschiedlichen Zielwerten führen. Daher ist die Funktion in $\binom{0}{0}$ nicht stetig.

Comments

Ah danke schön

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Du warst zu schnell mit Lesen, ich musste meine Antwort noch etwas verbessern.

Jetzt sollte alles passen.

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Muss beim 2.Weg nicht auch das y im Quadrat stehen?

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Nein, das ist ja gerade der Clou an der Sache.

Der Weg muss nur zum Punkt $\binom{0}{0}$ führen.

Der erste Weg ist so gewählt, dass die Bedingung $y=x^2$ immer erfüllt ist.

Der zweite Weg ist so gewählt, dass die Bedinung $y=x^2$ nie erfüllt ist.

Dadurch liefert die Funktion auf dem ersten Weg immer die $1$ und auf dem zweiten Weg immer die $0$.