Funktionenfolgen: ist f zwangsläufig monoton wachsend wenn…

Question

Text erkannt:

Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) sei \( f_{n}:[1,4] \rightarrow \mathbb{R} \) monoton wachsend. Der Grenzwert \( f=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} \) existiere punktweise.
Beweise oder widerlege: Dann ist zwangsläufig \( f \) monoton wachsend.
(Falls die Aussage falsch ist: Unter welcher Zusatzvoraussetzung könntest du sie beweisen? Falls sie richtig ist: Gilt Entsprechendes auch für strenge Monotonie (also ,„alle \( f_{n} \) streng monoton“ \( \Longrightarrow, f \) streng monoton")?)

Komme hier leider garnicht weiter

Answer 1

Seien \(x_0,x_1\in [1,4]\) mit \(x_0 < x_1\).

Begründe warum \(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x_0)\leq \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x_1)\) ist.

Für strenge Monotonie gilt entsprechendes nicht. Finde eine geeignete Funktionenfolge.

Comments

Sind meine Überlegungen richtig:

- Da der Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \)f_n = f  ∀x∈[1,4] existiert, und f_n für alle n∈ℕ monoton wachsend ist, gilt ja: f_n(x₀) ≤ f_n(x₁) für alle n. Gilt dann nicht automatisch das gleiche wenn ich n→∞ laufen lasse?

- Für strenge Monotonie gilt das nicht, da f_n für alle n streng monoton wachsend sein kann und für n→∞ gegen f(x)=c konvergiert. In diesem Fall ist f dann nicht streng monoton wachsend.

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Gilt dann nicht automatisch das gleiche wenn ich n→∞ laufen lasse?

Ja. Das müsstest du eigentlich irgendwo in deiner Sammlung von Rechenregeln für Grenzwerte finden.

da f_n für alle n streng monoton wachsend sein kann und für n→∞ gegen f(x)=c konvergiert.

Die Idee ist richtig. Du musst sie jetzt nur noch konkretisieren indem du einen Wert für \(c\) und eine Folge \((f_n)_{n\in \mathbb{N}}\) von Funktionen angibst.

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Ich hätte da an folgendes gedacht:

Sei f_n(x)= -(4-x)\( e^{-nx} \)

Dann gilt: \( \lim\limits_{n\to\infty} \)f_n(x)= f(x) = 0 ∀x∈[1,4]

Die Funktion ist streng monoton wachsend im Intervall und konvergiert punktweise gegen f(x) und f ist eindeutig nicht streng monoton wachsend.

Passt das als Beispiel oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?

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Sei f_n(x)= -(4-x)e^−nx

Stimmt so.

Ich hätte da an \(f_n(x) = \frac{1}{n}\cdot x\) gedacht, aber du darfst das Beispiel natürlich so kompliziert machen, wie du das möchtest :-)