Bestimme durch die partielle Integration e-funktion

Question

Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für die Integrale

\( I_{n}=\int x^{n} e^{-x} d x \)

Ich komm einfach nicht durch die partielle Integration auf das Ergebnis :(

Answer 1

$${ I }_{ n }=\int { { x }^{ n } } { e }^{ -x }dx$$Index erhöhen:$$\Rightarrow { I }_{ n+1 }=\int { { x }^{ n+1 } } { e }^{ -x }dx$$Partielle Integration:$$\Rightarrow { I }_{ n+1 }=-{ e }^{ -x }{ x }^{ n+1 }-\int { -{ e }^{ -x }(n+1){ x }^{ n } }$$Faktor -(n+1) vor das Integral ziehen:$$=-{ e }^{ -x }{ x }^{ n+1 }+(n+1)\int { { e }^{ -x }{ x }^{ n } }$$Das verbleibende Integral ist identisch mit I_n, also:$$=-{ e }^{ -x }{ x }^{ n+1 }+(n+1){ I }_{ n }$$