Beweis Riemann Integrale

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R}, a<b \), sowie eine stetige Funktion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben. Beweisen Sie die folgende Aussage: Falls für alle stetigen Funktionen \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(a)=g(b)=0 \) gilt dass \( \int^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \), dann ist \( f(x)=0 \) für alle \( x \in[a, b] \).

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter.

Comments

Hat jemand einen Ansatz?

Answer 1

Sei \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) stetig mit \(f(x)\neq 0\) für ein \(x\in[a,b]\).

Seien \(x_1,x_2 \in [a,b]\) mit \(x_1< x_2\) und

• \(\forall x\in [x_1,x_2]:\ f(x) > 0 \) oder
  
• \(\forall x\in [x_1,x_2]:\ f(x) < 0\).
  

Sei \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) mit

\(g(x) = \begin{cases}(x-x_1)\cdot (x-x_2)&\text{falls }x\in [x_1,x_2]\\0&\text{falls }x\in [a,b]\setminus[x_1,x_2]\end{cases}\).

Dann ist

        \( \int_a^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\neq 0 \).