optimale rationale Schachtelung der Kreiszahl pi (mit Nebenbedingungen)

Question

Hier mal eine Regenwetteraufgabe für Bastler:

Gesucht ist eine rationale Schachtelung für die Kreiszahl \(\pi\) der Form $$a\lt \pi\lt b,$$ wobei \(b-a\) möglichst klein sein soll und die gekürzten Bruchdarstellungen von \(a\) und \(b\) höchstens zweistellige Nenner aufweisen dürfen.

Eine technische Nebenbedingung gibt es auch noch: Für das Finden des Lösungsweg und der Lösung sind nur Papier und Stift erlaubt.

Viel Spaß.

Comments

Also ich habe mit Hilfsmittel einen kleineren Bruch und einen größeren Bruch gefunden. Ich weiß, das ist gegen die Regeln, aber ich kenne ohne Taschenrechner Pi nur auf zwei Nachkommastellen genau.

Allerdings sind mir ohnehin die Bedingungen nicht ganz klar. Soll man hier die Kenntnis der Zahl Pi voraussetzen oder wie Archimedes eine Schachtelung durch Vielecke finden.

Darf oder soll man vielleicht auch die Kenntnis von einer Reihenentwicklung von Pi zur Hilfe nehmen.

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ich kenne ohne Taschenrechner Pi nur auf zwei Nachkommastellen genau

Ich habe ein wenig Mühe, dir (dem Mathecoach) diese Behauptung zu glauben ....

Answer 1

Wähle eine Einschachtelung mit Medianten. siehe:

https://www.mathelounge.de/1013460/einschachtelung-mit-medianten

Beginne mit den Brüchen 3/1 und 4/1 als Intervallgrenzen. Bleibe 7 Schritte lang bei der linken Intervallgrenze und wähle den Medianten der beiden vorausgehenden Grenzen als rechte Grenze. Wähle dann 14 Schritte lang die zuletzt ermittelte Intervallgrenze als rechte Grenze und als linke Grenze den Medianten der beiden vorausgehenden Grenzen. Jetzt ist der Nenner bereits dreistellig aber du kannst weitermachen: Halte dann 21 Schritte lang die linke Grenze fest und berechne die rechte Grenze wie oben.