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Aufgabe:


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Gegeben sei der Unterraum U : =Span((1001),(0110)) U:=\operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\right) von R2×2 \mathbb{R}^{2 \times 2} mit den Basen
B1 : =((1111),(2002)) und B2 : =((1001),(2112)) \mathcal{B}_{1}:=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right) \quad \text { und } \quad \mathcal{B}_{2}:=\left(\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)\right) \text {. }
(a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen TB1B2 T_{\mathcal{B}_{1} \leftarrow \mathcal{B}_{2}} und TB2B1 T_{\mathcal{B}_{2} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} .


Ich suche einen Ansatz.

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Für TB2B1 T_{\mathcal{B}_{2} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} könnte es doch so gehen:

Du hast eine Darstellung mit B1 und suchst eine mit B2.

Also hast du a(1111)+b(2002)=(a+2baaa+2b)a\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a+2b & a \\ a & a+2b \end{array}\right)


und möchtest

 x(1001)+y(2112)=(x+2yyyx+2y) x\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} -x+2y & y \\ y & -x+2y \end{array}\right)

Du musst x,y durch a,b ausdrücken.

Dazu betrachte y=a und -x+2y=a+2b

bzw y=a und x=a-2b. Also

(xy)=(a2ba)=(1210)(ab) \left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a-2b \\a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} a \\b \end{array}\right)

Also ist (1210) \left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right)

die gesuchte Matrix.

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