Für \( T_{\mathcal{B}_{2} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} \) könnte es doch so gehen:
Du hast eine Darstellung mit B1 und suchst eine mit B2.
Also hast du \(a\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a+2b & a \\ a & a+2b \end{array}\right)\)
und möchtest
\( x\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} -x+2y & y \\ y & -x+2y \end{array}\right)\)
Du musst x,y durch a,b ausdrücken.
Dazu betrachte y=a und -x+2y=a+2b
bzw y=a und x=a-2b. Also
\( \left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a-2b \\a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} a \\b \end{array}\right) \)
Also ist \( \left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right) \)
die gesuchte Matrix.