Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen T_{\mathcal{B}_{1} \leftarrow \mathcal{B}_{2}} und T_{\mathcal{B}_{2} …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei der Unterraum \( U:=\operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\right) \) von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) mit den Basen
\( \mathcal{B}_{1}:=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right) \quad \text { und } \quad \mathcal{B}_{2}:=\left(\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)\right) \text {. } \)
(a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen \( T_{\mathcal{B}_{1} \leftarrow \mathcal{B}_{2}} \) und \( T_{\mathcal{B}_{2} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} \).

Ich suche einen Ansatz.

Answer 1

Für \( T_{\mathcal{B}_{2} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} \) könnte es doch so gehen:

Du hast eine Darstellung mit B1 und suchst eine mit B2.

Also hast du \(a\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a+2b & a \\ a & a+2b \end{array}\right)\)

und möchtest

 \( x\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} -x+2y & y \\ y & -x+2y \end{array}\right)\)

Du musst x,y durch a,b ausdrücken.

Dazu betrachte y=a und -x+2y=a+2b

bzw y=a und x=a-2b. Also

\( \left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a-2b \\a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} a \\b \end{array}\right) \)

Also ist \( \left(\begin{array}{ll} 1&-2 \\1&0 \end{array}\right) \)

die gesuchte Matrix.