Aloha :)
Zum Integrieren musst du den Exponenten um 1 erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren. Die Addition der Integrationskonstante \(C\) nicht vergessen.
$$f(x)=\sqrt x=x^{\frac12}\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C=\frac23x^{\frac32}+C=\frac23x\sqrt x+C$$
Die Ausnahme von der obigen Regel ist \(f(x)=\frac1x=x^{-1}\). Wenn du hier den Exponenten um 1 erhöhst, kommt Null raus. Du kannst daher nicht durch den neuen Exponenten Null dividieren. Dieses Integral musst du daher einfach auswendig lernen.$$f(x)=\frac1x\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\ln|x|+C$$
Alle anderen Integrale funktionieren wieder nach der Standard-Regel:
$$f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac1x+C$$
$$f(x)=\frac{x}{1}=x^1\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\frac{x^2}{2}+C=\frac12x^2+C$$
$$f(x)=x^{\frac12}\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C=\frac23x^{\frac32}+C$$
$$f(x)=x^{-2}\quad\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\quad F(x)=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac1x+C$$
Die Integrale waren teilweise doppelt. Daher prüfe bitte nochmal, ob du sie in der Frage richtig eingetragen hast.
