Partialbruchzerlegungen bestimmen/ Stammfunktionen bilden

Question

Aufgabe: es handelt sich wieder um Partialbruchzerlegung. Ich kann mir nicht erklären, warum diese Vorgehensweise falsch ist. Wenn ich die Probe mache, dann kommt nicht die Ausgangsfunktion raus. Der Partialbruch-Rechner rechnet die Aufgabe irgendwie anders und ich kann mir nicht erklären, warum  meine Vorgehensweise nicht korrekt ist. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben bitte?

Problem/Ansatz:

2) \( \frac{4 x^{4}}{(x-1)^{2}(x+1)} \Rightarrow \) der grad rom zaneer ist gīper
\( \begin{array}{l} \left(x^{2}-2 x+1\right)(x+1)=x^{3}-2 x^{2}+x+x^{2}-2 x+1=x^{3}-x^{2}-x+1 \\ 4 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0: x^{3}-x^{2}-x+1=4 x+4 \\ -4 x^{4}+4 x^{3}+4 x^{2}-4 x \\ +4 x^{3}+4 x^{2}-4 x+0 \\ \mp 4 x^{3} \pm 4 x^{2} \pm 4 x \mp 4 \\ +8 x^{2}-4 \\ \frac{g}{p}=4 x+4+\frac{8 x^{2}-4}{(x-1)^{2}(x+1)} \\ \frac{g}{p}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{c}{(x+1)} \\ 8 x^{2}-4=A \cdot(x-1) \cdot(x+1)+3(x+1)+C(x-1)^{2} \\ A(x-1)(x+1)+3 x+3+c\left(x^{2}-2 x+1\right) \\ A\left(x^{2}+x-x-1\right)+3 x+B+C x^{2}-2 c x+c \\ A x^{2}+A x-A x-A+B x+B+C x^{2}-2 C x+C \\ 8 x^{2}+0 x-4=(A+C) x^{2}+(B-2 C) x-A+C \\ A+C=8 \Rightarrow C=8-4=8-6=2 \\ 3-2 C=0 \Rightarrow 3-2 \cdot 2=0 \Rightarrow B=4 \\ -A+C=-4 \Rightarrow-A+8-A=-4 \\ -2 A+8=-4 \\ -2 A=-12 \\ A=6 \\ \end{array} \)
\( \begin{aligned} \frac{6}{(x-1)}+\frac{4}{(x-1)^{2}}+\frac{2}{x+1}= & \frac{6(x-1)(x+1)+4(x+1)+2(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)} \\ & \frac{6\left(x^{2}+x-x-1\right)+4 x+4+2\left(x^{2}-2 x+1\right)}{(x-1)^{2}(x+1)} \\ & 6 x^{2}-6+4 x+4+2 x^{2}-4 x+2 \end{aligned} \)

Answer 1

Aloha :)

Den Nenner hast du umgeformt$$\frac{4x^4}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{4x^4}{(x-1)(x^2-1)}=\frac{4x^4}{x^3-x^2-x+1}$$ und die Polynomdivision korrekt durchgeführt:$$\phantom {-(}4x^4\div(x^3-x^2-x+1)=\red{4x}+\green{4}+\frac{\blue{8x^2-4}}{(x-1)^2(x+1)}$$$$-(\red{4x^4-4x^3-4x^2+4x})$$$$=4x^3+4x^2-4x$$$$-(\green{4x^3-4x^2-4x+4})$$$$=\blue{8x^2-4}$$

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist auch noch richtig:$$\frac{8x^2-4}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$$

Wenn du nun "in Gedanken" beide Seiten der Gleichung mit \(\pink{(x+1)}\) multiplizierst:$$\frac{8x^2-4}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}\cdot\pink{(x+1)}+\frac{B}{(x-1)^2}\cdot\pink{(x+1)}+C$$und für \(\pink{x=-1}\) einsetzt, erhältst du:$$C=\frac{8(-1)^2-4}{((-1)-1)^2}=\frac{8-4}{(-2)^2}=1$$

Wenn du nun "in Gedanken" beide Seiten der Partial-Gleichung mit \(\green{(x-1)^2}\) multiplizierst:$$\frac{8x^2-4}{x+1}=A\cdot\green{(x-1)}+B+\frac{C}{x+1}\cdot\green{(x-1)^2}$$und für \(\green{x=1}\) einsetzt, erhältst du:$$B=\frac{8\cdot1^2-4}{1+1}=\frac{8-4}{2}=2$$

Für die letzte Unbekannte \(A\) setzen wir einfach \(x=0\) ein:$$-4=-A+B+C=-A+2+1=-A+3\implies A=7$$

Damit haben wir folgende Zerlegung gefunden:$$\frac{4x^4}{(x-1)^2(x+1)}=4x+4+\frac{7}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{x+1}$$

Comments

Vielen Dank Tschakabumba! So wie du's gerechnet hast, geht's schneller und ist auch einfacher. Es gibt ja noch einen Trick mit der Ableitung. Wir leiten 1x ab und setzen dann entweder 1 oder -1 in die Gleichung. Ich weiß nicht, ob dir das was sagt, aber kann ich das hier auch anwenden? Man kann ja die Partialbruchzerlegung mit verschiedenen Methoden lösen.

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Den Trick mit dem Ableiten kenne ich nicht, muss ich mir heute Abend mal in Ruhe ansehen.

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@science4: Du meinst vermutlich was teils als "Zuhaltemethode" bekannt ist?!

Wenn man sich den Ansatz von Tschakabumba als Grundlage hernimmt, so kannst Du B und C durch zuhalten bestimmen.

Um C zu bestimmen musst Du links (x+1) "zuhalten" und für den Rest -1 einsetzen. Wir erhalten C = 1. So erhalten wir auch B = 2.

Die Zuhaltemethode funktioniert für A aber nicht. Diesen Teil können wir links nicht "zuhalten" und damit müssen wir hier bspw doch noch den Koeffizientenvergleich bemühen. Da B und C aber bekannt sind, geht das deutlich schneller.

Letztlich also genau das was Tschakabumba schon gemacht hat.

Answer 2

Hallo

richtig ist noch  die Zeile vor

$$ 8 x^{2}+0 x-4=(A+C) x^{2}+(B-2 C) x-A+C $$

hier fehlt ein B

$$ 8 x^{2}+0 x-4=(A+C) x^{2}+(B-2 C) x-A+B+C $$ ist richtig

danach wird es bei dir unübersichtlich   in  der nächsten Zeile etwa steht z.B. 8-4=8-6    deshalb neu von mir

I: A+C=8

II: -A+B+C=-4

III: B-2C=0

I+II  B+2C=4

addiert mit III 2B=4, B=2

mit III 2+2C=4  . C=1 dann A=8-C=7

Gruß lul

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Danke lul für deine Erklärung!