Partielle Ableitung. Wieso einmal so und einmal so?

Question

Mir fiel leider kein besserer Titel ein..

Ich versteh das Prinzip der partiellen Ableitung einfach nicht.. Hab mir schon einige Bücher dazu durchgelesen, aber so recht werd ich da draus nicht schlau.

Mich beschäftigt nur eins:

In unsrem Skript steht eine Beispielfunktion:

f(x,y)=z= x² *y²

daraus ergibt sich dann:

fx= 2x * y²     ; fy= x² * 2y

fxx = 2y²       ; fyy= 2x²

fyx= 4xy       ; fxy= 4xy

--> wie man hier ja erkennen kann  wird bei der Ableitung fx, das y wie eine konstante Behandelt weil man ja quasi nur nach x ableitet...

dann hab ich aber etwas andres gefunden: ( Eine neue Funktion )

f(x,y) = z= x² + y² - xy + x - y

zx = 2x +0 -y +1 -0

--> und jetzt steig ich aus? wieso behandelt man denn hier "y" nicht wie eine konstante? sondern setzt an dessen stelle eine 0?

 

Answer 1

Das y wird dort auch wie eine Konstante behandelt!
Und Konstanten abgeleitet ergeben nunmal eine 0.

Wenn du zum Beispiel f(x) = x+2 ableitest, dann ist die Ableitung f'(x)=1.

Und wenn du nun f(x,y) = x+y partiell nach x ableitest, dann wird y als Konstante behandelt und du erhältst ebenfalls f_x(x) = 1.

Comments

Wenn ich doch aber sag y ist eine "konstante" und ich leite nach x ab? wieso soll ich diese Konstante nun auch ableiteiten? das verwirrt!

 

" Und wenn du nun f(x,y) = x+y partiell nach x ableitest, dann wird y als Konstante behandelt und du erhältst ebenfalls fx(x) = 1."

wenn aber doch y wie eine konstante behandelt werden würde müsste es dann nicht heissen fx(x) = 1+y?

Also sorry aber das ist doch ein deutlicher unterschied zwischen der Aufgabe oben und der unten? in der unteren wird y "konstante" durch 0 ersetzt und oben bleibt das y² stehen wenn ich nach fx ableite...

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Kann das sein dass der Unterschied wesentlich darin liegt dass in Aufgabe 1 die beiden variablen mit einem * verbunden sind und in Aufgabe zwei mit einem + ?

Ich habe nämlich hier ein weiteres Beispiel was das verdeutlicht...

f( x,y) = x² * y³ + x + y²

Die erste ableitung nach x lautet dann: 2 x** y³ + 1 --> das y fällt weg da ein + dazwischen steht

genauso nach y : 3 x² *y² + 2yy

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Hmm, vielleicht ist dir noch nicht ganz klar, wie man mit Konstanten beim Ableiten umgeht.

Stell dir doch mal die folgende Funktion vor:

f(x) = b*x + c

b und c sind hier beliebige Konstanten (das heißt eigentlich einfach nur Zahlen).

Wenn du die Funktion ableitest, dann erhältst du

f'(x) = b

Das heißt, eine Konstante ist weggefallen und die andere ist noch da, genauso passiert es eben mit dem y.

Das ist jetzt keine großartige Besonderheit von diesem Fall, sondern allgemein so beim Ableiten. Eine Konstante gibt abgeleitet 0, aber eine "Konstante*Funktion" gibt "Konstante*Ableitung der Funktion".