0 Daumen
234 Aufrufe

Aufgabe:

Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ

a)  ∑nk=1 k2 =\( \frac{1}{6} \) n(n + 1)(2n + 1).

b)5n+2*11n


Problem/Ansatz:

hey,

bei der a) habe ich \( \frac{1}{6} \)n(n + 1)(2n + 1)+(n+1)2 komme jedoch einfach nicht weiter.

Gleiches Problem bei der b) hier habe ich beim induktions Schritt  (5n*4+5n+2*11n*10+11n)/3

bin jetzt jedoch ratlos wie ich weitermachen muss.

kann mir jemand weiterhelfen?

Avatar von
b) 5^{n}+2*11^{n}

was soll hier gezeigt werden?

@WS : So wie der Induktionsschluss (in dem allerdings Klammern fehlen) versucht worden ist, soll Dividierbarkeit des Terms T durch 3 gezeigt werden, was wegen 5≡2(3), 2≡-1(3) und 11≡2(3), also
T ≡ 2^n - 2^n ≡ 0(3) durchaus erfolgversprechend ist.

2 Antworten

0 Daumen

Hallo,

zu a) findest Du eine ausführliche Antwort hier: Summenformel für k ...

und bei b) soll anscheinend die Teilbarkeit durch 3 nachgewiesen werden (Schade, dass Du die Rückfrage nicht beantwortet hast!). Der Induktionsanfang mit \(n=0\) ist trivial. Der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) geht so:$$\begin{aligned} 5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1} &= 5\cdot 5^{n}+22\cdot 11^{n} \\ &= 5\cdot 5^{n}+10\cdot 11^{n}+12\cdot 11^{n} \\ &= 5\cdot\underbrace{(5^{n} + 2\cdot 11^{n})}_{3\mid \dots} +\underbrace{12}_{3\mid\dots}\cdot 11^{n} \end{aligned}$$d.h. zusammen mit der Induktionsannahme, dass \(5^n+2\cdot11^n\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch der Term mit \(n+1\) durch \(3\) teilbar.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community