Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ

Question

Aufgabe:

Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ

a)  ∑ⁿ_k=1 k² =\( \frac{1}{6} \) n(n + 1)(2n + 1).

b)5ⁿ+2*11ⁿ

Problem/Ansatz:

hey,

bei der a) habe ich \( \frac{1}{6} \)n(n + 1)(2n + 1)+(n+1)² komme jedoch einfach nicht weiter.

Gleiches Problem bei der b) hier habe ich beim induktions Schritt  (5ⁿ*4+5ⁿ+2*11ⁿ*10+11ⁿ)/3

bin jetzt jedoch ratlos wie ich weitermachen muss.

kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

b) 5^{n}+2*11^{n}

was soll hier gezeigt werden?

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@WS : So wie der Induktionsschluss (in dem allerdings Klammern fehlen) versucht worden ist, soll Dividierbarkeit des Terms T durch 3 gezeigt werden, was wegen 5≡2(3), 2≡-1(3) und 11≡2(3), also
T ≡ 2^n - 2^n ≡ 0(3) durchaus erfolgversprechend ist.

Answer 1

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/133771/summenformel-fur-k-und-vollstandige-induktion-mit-gauss-n-2

Answer 2

Hallo,

zu a) findest Du eine ausführliche Antwort hier: Summenformel für k ...

und bei b) soll anscheinend die Teilbarkeit durch 3 nachgewiesen werden (Schade, dass Du die Rückfrage nicht beantwortet hast!). Der Induktionsanfang mit \(n=0\) ist trivial. Der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) geht so:$$\begin{aligned} 5^{n+1}+2\cdot 11^{n+1} &= 5\cdot 5^{n}+22\cdot 11^{n} \\ &= 5\cdot 5^{n}+10\cdot 11^{n}+12\cdot 11^{n} \\ &= 5\cdot\underbrace{(5^{n} + 2\cdot 11^{n})}_{3\mid \dots} +\underbrace{12}_{3\mid\dots}\cdot 11^{n} \end{aligned}$$d.h. zusammen mit der Induktionsannahme, dass \(5^n+2\cdot11^n\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch der Term mit \(n+1\) durch \(3\) teilbar.

Gruß Werner