Gegeben sind die Vektoren \( \overrightarrow{u_{1}}=(2,0,2) \) und \( \overrightarrow{u_{2}}=(1,1,1) \) aus den Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{3} \) und eine lineare Abbildung \( f \in \operatorname{Hom}(V, V) \), welche jeden Vektor \( \vec{u} \) aus dem Unterraum \( U=\operatorname{Lin}\left\{\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right\} \) identisch abbildet und jeden Vektor \( \vec{w} \) aus dem orthogonalen Komplement \( U^{\perp} \) auf \( 2 \cdot \vec{w} \) abbildet.
a) Bestimmen Sie eine Diagonalbasis der Abbildung \( f \). Hinweis: Orthonormierungsverfahren auf \( \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{e_{3}} \) anwenden.
b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen von \( f \),
i) bezüglich der in Teil a berechneten Diagonalbasis und
ii) bezüglich der Standardbasis.
