Dimensionsaufgaben Matrix: Begründe: Für jeden Endomorphismus in Hom(V,V) gibt es eine bijektive Abbildung

Question

Geben Sie kurze Begründungen für die folgenden beiden Aussagen:

a) Für jeden endlich-dimensionalen Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{n} \) und jeden Endomorphismus \( f \in \operatorname{Hom}(V, V) \) gibt es (mindestens) ein \( \mu \in \mathbb{R} \), so dass die lineare Abbildung \( f+\mu I d_{V} \) bijektiv ist.

b) Sind \( f, g \in \operatorname{Hom}(V, V) \) zwei Endomorphismen eines beliebigen Vektorraums \( V \), so dass \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g))>0 \) ist, dann hat der Endomorphismus \( (f-g) \) den Eigenwert 0

c) Untersuchen (und begründen) Sie, ob auch die Umkehrung von b) wahr ist, d.h. ob aus \( (f-g) \) hat den Eigenwert 0 folgt, dass \( \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g))>0 \) ist.

d) Wie groß ist (d.h. wie viele Elemente hat) ein 1-perfekter Code \( C_{1} \subseteq G F(5)^{6} \) bzw. ein 2-perfekter Code \( C_{2} \subseteq G F(2)^{5} ? \)

Answer 1

d) Für den Ball mit Radius t um einen Punkt c gilt: $$|B_t(c)|=\sum_{i=0}^t (q-1)^i \binom{n}{i}$$. Für einen t-perfekten Code gilt also $$ |C|=q^n/|B_t(c)|$$. Und damit hier also 625 bzw. 2. c) Stimmt nicht, Gegenbeispiel $$f=g=id_V$$ b) Es gibt ein x aus dem Schnitt der Kerne, das nicht der Nullvektor ist (nach Voraussetzung). Dieses ist Eigenvektor von f-g zum Eigenwert 0, da (f-g)(x)=f(x)-g(x)=0-0=0x a) Wähle u so, dass -u keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms char(f) von f ist. Dann gilt: $$det(f+u id_V)=char(f)(-u)\neq 0$$ wie gewünscht.

Comments

und aufgabe a.)?

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Ist auch dabei.