Verwirrung bei Sinusfunktion

Question

Guten Nachmittag!
Ich übe gerade für eine Mathearbeit und habe ein Problem mit einer Sinusfunktion:
Hier die Aufgabe und meine Lösungen:
y=3⋅sin(4⋅π⋅x−3)+1

Nun soll ich die Nullstellen berechnen. Hier meine Lösung:
0=3⋅sin(4⋅π⋅x−3)+1
−1=sin(b)

b=4⋅π⋅x−3

So nun kommen da ja zwei Lösungen raus:
1. b1=π2⋅k

2. b2=−90⋅π360=−π2⋅k (glaub das ist falsch aber ich mach mal weiter)

Nun setze ich b für b1 und b2 ein:
1.

4⋅π⋅x−3=π2⋅k
18⋅k=x−34⋅π

x=18⋅k+34⋅π
dann wäre die erste Nullstelle ja :x0=0,238(∈ der Tat zeigt auch der Plotter die erste Nullstelle bei diesem Wert an, zumindest die, die steigend durchlaufen wird)

Jetzt möchte ich ja noch die Gleichung für die Nullstellen, die der Graph fallend "durchschneidet". Also:

−π2⋅k=4⋅π⋅x−3
−18⋅k+34⋅π=x

Dann komme ich aber ja auf die gleiche NST wie oben bereits.

Bitte um Hilfe und weiß grad nicht weiter

Gruß

Answer 1

Das liegt daran, dass du zweimal dieselbe Nullstelle angibst.

Die Sinusfunktion ist ja 2π-periodisch, das heißt, nach 2π ist sie wieder am Anfang angekommen.

Das heißt aber, dass insbesondere auch alle Stellen, die 4π auseinander liegen genau den gleichen Wert haben. Mit deinen -2πk und +2πk triffst du also nur genau die gleichen Stellen.

Es ist auch einfacher, Stellen der Sinusfunktion erstmal im Intervall [0, 2π[ zu suchen, die den gewünschten Wert haben und dann dazu jeweils k*2π zu addieren.

Außerdem hast du dich verrechnet, denn du musst noch durch die 3 teilen, die vorm Sinus steht:

Duch suchst also erstmal Lösungen für

-1/3 = sin(b)

Wenn du die Sinusfunktion betrachtest, dann siehst du, dass eine Lösung z₁ kurz hinter Pi liegt und die andere bei z₂=2π-(z₁-π)=3π-z₁

Wenn du jetzt noch beachtest, dass z₁ = π + arcsin(1/3) gilt, dann erhältst du für b die Lösungen:

b₁ = π+ arcsin(1/3) + k*2π

b₂ = 2π - arcsin(1/3) + k*2π

 

Für x erhältst du dann:

4⋅π⋅x−3 = b

x₁ = (3 + π+ arcsin(1/3) + k*2π)/4π = (3+arcsin(1/3) +(2k+1)π)/4π

x₂ = (3+2π - arcsin(1/3) + k*2π)/4π = (3-arcsin(1/3) + (k+1)2π)/4π

Comments

Also das mit meinem Rechenfehler sehe ich ein.

Ich habe aber noch ein paar Fragen:

Könntest du mir mal erklären wie du da drauf kommst? Bitte??

b1 = π+ arcsin(1/3) + k*2π

b2 = 2π - arcsin(1/3) + k*2π

 

wir haben gelernt, dass die Nullstellen pi periodisch sind und verstehe deshalb überhaupt nicht, warum du vorne was addierst und hinten ??

Tut mir leid bin sehr verwirrt

 

Gruß

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Du suchst ja keine Nullstellen, die sind wirklich pi-periodisch. Du suchst in die Stellen, bei denen sin(b)=-1/3 gilt.

Schau dir mal den Sinus-Verlauf an, dann siehst du an der Symmetrie, das der Abstand zwischen 0 und der Stelle wo sin(b) = 1/3 gilt der gleiche ist, wie der Abstand zwischen π und der Stelle wo sin(b)=-1/3 gilt, deswegen schreibe ich:

b = π+arcsin(1/3)

das ist die erste Stelle, an der der Sinus den Wert -1/3 hat. Die Stelle wiederholt sich (so wie die Sinusfunktion selbst) jeweils alle 2π deswegen addiere ich hinten ran noch +k*2π

Die zweite Stelle, bei der sin(b)=-1/3 gilt, liegt kurz vor 2π und hat den Abstand arcsin(1/3) von 2π.

b = 2π - arcsin(1/3)

Dazu kann ich wieder ein ganzzahliges Vielfaches von 2π addieren, das ergibt die zweite Lösung.