Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach

Question

Aufgabe- - (i) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach \( x \) auf. Verwenden Sie dabei keinen Logarithmus außer dem natürlichen \( \log =\exp ^{-1} \).
(a) \( \left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)} \)
(b) \( 2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}, \quad x>0 \).
(ii) Untersuchen Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die folgenden Ungleichungen gelten. Verwenden Sie auch hier keinen Logarithmus außer dem natürlichen.
(a) \( 2^{x+4}>3 \)
(b) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{x+4}>3 \).

Comments

Der Titel Deiner Anfrage ist

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Vom Duplikat:

Titel: Log exp Gleichung auflösen

Stichworte: logarithmus

Text erkannt:

. (i) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach \( x \) auf. Verwenden Sie dabei keinen Logarithmus außer dem natürlichen \( \log =\exp ^{-1} \).

(a) \( \left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)} \),
(b) \( 2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}, \quad x>0 \).

Aufgabe:

Könnte mir vielleicht einer dabei helfen ?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)  2^(2x) = 3^(x^2)

2x*ln2 = x^2*ln3

für x ≠0:

x/2= ln2/ln3

x= 2*ln2/ln3 = 5,7506...

b) 2^(x^x)= 2^(x^2)

Exponentenvergleich:

x^x = x^2

x= 2 (kann man sehen)

ii)

a) 2^x*2^4 >3

2^x > 3/16

x*ln2 > 3/16

x> (3/16)/ln2

x> 0,27051

b) (1/2) = 2^-1

2^(-x-4) >3

-x-4*ln2 > ln3

x< -4ln2-ln3

Comments

Exponentenvergleich:
x^x = x²
x= 2 (kann man sehen)

und \(x_2=1\) ist auch eine Lösung$$\begin{aligned} x^x &= x^2 &&|\,\div x^2 \\ x^{x-2} &= 1 \\ \implies x_1-2 &= 0 \lor x_2=1\end{aligned}$$

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Danke, Werner, das habe ich glatt übersehen.

Wie ist es mit der 0?

Da wird doch gestritten.

https://www.spektrum.de/kolumne/wie-viel-ist-null-hoch-null/1793090

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2^x > 3/16
x*ln2 > 3/16

$$\begin{aligned} 2^{x+4} &\gt 3 &&|\,\ln\\ (x+4)\ln(2) &\gt \ln(3) &&|\,\div \ln(2)\\ x + 4 &\gt \frac{\ln(3)}{\ln(2)} &&|\,-4 \\ x &\gt \frac{\ln(3)}{\ln(2)} - 4 \approx -2,41\end{aligned}$$

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\(x^{x} = x^{2}\) Wie ist es mit der 0?

Es ist$$\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{x} = 1$$Der rote Graph unten ist der der Funktion \(x^{x}\left\{0<x\right\}\). Die Kurve beginnt bei \(y=1\)

https://www.desmos.com/calculator/p648qa7kmm

Bei \(x=0\) gibt's also keinen Schnittpunkt. Zumal der Definitionsbereich der Aufgabe \(x\gt 0\) ist.

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Hallo. Kann mir einer sagen wie man bei der a) davon: 2x*ln2 = x2*ln3 dazu: x/2= ln2/ln3 kommt? Leuchtet mir noch nicht ganz ein.

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Kann mir einer sagen wie man bei der a) davon: 2x*ln2 = x²*ln3 dazu: x/2= ln2/ln3 kommt?

$$\begin{aligned}2x\cdot \ln(2) &= x^2\cdot \ln(3) &&|\, \div x \space (x \ne 0) \\ 2\ln(2) &= x\cdot \ln(3) &&|\, \div \ln(3) \\ 2 \frac{\ln(2)}{\ln(3)} &= x &&|\,\div 2 \\\frac{\ln(2)}{\ln(3)} &= \frac{x}{2}\end{aligned}$$womit wir bei \(x/2=\ln(2)/\ln(3)\) angekommen wären. Alternativ kann man aber ab der dritten Zeile auch so weiter machen$$\begin{aligned}x &= 2 \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \\ x &=  \frac{2\cdot \ln(2)}{\ln(3)} \\x &=  \frac{\ln(2^2)}{\ln(3)} \\x &=  \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \approx 1,26  \end{aligned}$$

x= 2*ln2/ln3 = 5,7506...

das ist auch ohne Einsatz des TR als falsch zu erkennen!

und nicht zu vergessen: es gibt zwei Lösungen. Die erste Lösung war \(x_1=0\) (s.o.)

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Vielen Dank!

Answer 2

a) 2^(2x) = 3^(x^2)

2x*ln2 = x^2*ln3

x^2*ln3-2x*ln2 = 0

x(x*ln3-2ln2) = 0

x=0 v x = (2ln2)/ln3

b) 2^(x^x)= 2^(x^2)

Exponentenvergleich:

x^x= x^2

Das kann man nicht nach x auflösen, aber Lösungen "sehen":

x= 2 v x= 1

Comments

?? Das kann man nicht nach x auflösen ??

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Meinst du:

x^x-x^2 =0

x^2(x^(x-2)- 1) = 0

x= 0 v x-2= x^0 -> x= 2

Dann geht die Lösung x= 1 verloren.

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Ich meinte

\( x^{x}=  x^2  \)

<=> \( x \cdot ln(x) = 2 \cdot ln(x) \)

<=> \( x \cdot ln(x) - 2 \cdot ln(x)  = 0 \)

<=> \( ln(x) \cdot ( x - 2 )  = 0 \)

<=> \( ln(x)=0   \)    oder     x - 2   = 0 

<=>   x=1   oder  x=2

Answer 3

Verwende das Potenzgesetz

        \(\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\)

und das Logarithmusgesetz

        \(\log_a\left(b^c\right) = c\cdot \log_ab\).

Beispiel.

        \(\begin{aligned} &  & \left(2^{x}\right)^{2} & =3^{\left(x^{2}\right)}\\ & \iff & 2^{2x} & =3^{\left(x^{2}\right)}\\ & \iff & \ln\left(2^{2x}\right) & =\ln\left(3^{\left(x^{2}\right)}\right)\\ & \iff & 2x\cdot\ln2 & =x^{2}\cdot\ln3 \end{aligned}\)

Comments

Vielen Dank sehr hilfreich

Answer 4

\( \left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)} \)

<=> \( 2^{2x}=3^{\left(x^{2}\right)} \)

<=> \( 2x \cdot ln(2)-x^{2}\cdot ln(3) = 0 \)

<=> \( x \cdot ( 2\cdot ln(2)-x\cdot ln(3) )= 0 \)

<=> \( x=0  \text{ oder }   x= \frac{ 2\cdot ln(2)}{ln(3)}\)

\( 2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}  \)

<=> \( 2^{\left(x^{x}\right)}=    2^{\left(x^{2}\right)}  \)

<=> \( x^{x}=  x^2   \)

<=> \( x \cdot ln(x) = 2 \cdot ln(x) \)

<=> \( x \cdot ln(x) - 2 \cdot ln(x)  = 0 \)

<=> \( ln(x) \cdot ( x - 2 )  = 0 \)

<=>   x=1   oder  x=2