Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach

Question

Aufgabe- - (i) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach $x$ auf. Verwenden Sie dabei keinen Logarithmus außer dem natürlichen $\log =\exp ^{-1}$.
(a) $\left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)}$
(b) $2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}, \quad x>0$.
(ii) Untersuchen Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ die folgenden Ungleichungen gelten. Verwenden Sie auch hier keinen Logarithmus außer dem natürlichen.
(a) $2^{x+4}>3$
(b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+4}>3$.

Comments

Der Titel Deiner Anfrage ist

---

Vom Duplikat:

Titel: Log exp Gleichung auflösen

Stichworte: logarithmus

Text erkannt:

. (i) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach $x$ auf. Verwenden Sie dabei keinen Logarithmus außer dem natürlichen $\log =\exp ^{-1}$.

(a) $\left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)}$,
(b) $2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}, \quad x>0$.

Aufgabe:

Könnte mir vielleicht einer dabei helfen ?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)  2^(2x) = 3^(x²)

2x*ln2 = x²*ln3

für x ≠0:

x/2= ln2/ln3

x= 2*ln2/ln3 = 5,7506...

b) 2^(x^x)= 2^(x²)

Exponentenvergleich:

x^x = x²

x= 2 (kann man sehen)

ii)

a) 2^x*2⁴ >3

2^x > 3/16

x*ln2 > 3/16

x> (3/16)/ln2

x> 0,27051

b) (1/2) = 2^-1

2^(-x-4) >3

-x-4*ln2 > ln3

x< -4ln2-ln3

Comments

Exponentenvergleich:
x^x = x²
x= 2 (kann man sehen)

und $x_2=1$ ist auch eine Lösung$$\begin{aligned} x^x &= x^2 &&|\,\div x^2 \\ x^{x-2} &= 1 \\ \implies x_1-2 &= 0 \lor x_2=1\end{aligned}$$

---

Danke, Werner, das habe ich glatt übersehen.

Wie ist es mit der 0?

Da wird doch gestritten.

https://www.spektrum.de/kolumne/wie-viel-ist-null-hoch-null/1793090

---

2^x > 3/16
x*ln2 > 3/16

$$\begin{aligned} 2^{x+4} &\gt 3 &&|\,\ln\\ (x+4)\ln(2) &\gt \ln(3) &&|\,\div \ln(2)\\ x + 4 &\gt \frac{\ln(3)}{\ln(2)} &&|\,-4 \\ x &\gt \frac{\ln(3)}{\ln(2)} - 4 \approx -2,41\end{aligned}$$

---

$x^{x} = x^{2}$ Wie ist es mit der 0?

Es ist$$\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^{x} = 1$$Der rote Graph unten ist der der Funktion $x^{x}\left\{0<x\right\}$. Die Kurve beginnt bei $y=1$

Bei $x=0$ gibt's also keinen Schnittpunkt. Zumal der Definitionsbereich der Aufgabe $x\gt 0$ ist.

---

Hallo. Kann mir einer sagen wie man bei der a) davon: 2x*ln2 = x2*ln3 dazu: x/2= ln2/ln3 kommt? Leuchtet mir noch nicht ganz ein.

---

Kann mir einer sagen wie man bei der a) davon: 2x*ln2 = x²*ln3 dazu: x/2= ln2/ln3 kommt?

$$\begin{aligned}2x\cdot \ln(2) &= x^2\cdot \ln(3) &&|\, \div x \space (x \ne 0) \\ 2\ln(2) &= x\cdot \ln(3) &&|\, \div \ln(3) \\ 2 \frac{\ln(2)}{\ln(3)} &= x &&|\,\div 2 \\\frac{\ln(2)}{\ln(3)} &= \frac{x}{2}\end{aligned}$$womit wir bei $x/2=\ln(2)/\ln(3)$ angekommen wären. Alternativ kann man aber ab der dritten Zeile auch so weiter machen$$\begin{aligned}x &= 2 \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \\ x &= \frac{2\cdot \ln(2)}{\ln(3)} \\x &= \frac{\ln(2^2)}{\ln(3)} \\x &= \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \approx 1,26 \end{aligned}$$

x= 2*ln2/ln3 = 5,7506...

das ist auch ohne Einsatz des TR als falsch zu erkennen!

und nicht zu vergessen: es gibt zwei Lösungen. Die erste Lösung war $x_1=0$ (s.o.)

---

Vielen Dank!

Answer 2

a) 2^(2x) = 3^(x²)

2x*ln2 = x²*ln3

x²*ln3-2x*ln2 = 0

x(x*ln3-2ln2) = 0

x=0 v x = (2ln2)/ln3

b) 2^(x^x)= 2^(x²)

Exponentenvergleich:

x^x= x²

Das kann man nicht nach x auflösen, aber Lösungen "sehen":

x= 2 v x= 1

Comments

?? Das kann man nicht nach x auflösen ??

---

Meinst du:

x^x-x² =0

x²(x^(x-2)- 1) = 0

x= 0 v x-2= x⁰ -> x= 2

Dann geht die Lösung x= 1 verloren.

---

Ich meinte

$x^{x}= x^2$

<=> $x \cdot ln(x) = 2 \cdot ln(x)$

<=> $x \cdot ln(x) - 2 \cdot ln(x) = 0$

<=> $ln(x) \cdot ( x - 2 ) = 0$

<=> $ln(x)=0$    oder     x - 2   = 0 

<=>   x=1   oder  x=2

Answer 3

Verwende das Potenzgesetz

        $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

und das Logarithmusgesetz

        $\log_a\left(b^c\right) = c\cdot \log_ab$.

Beispiel.

        $\begin{aligned} & & \left(2^{x}\right)^{2} & =3^{\left(x^{2}\right)}\\ & \iff & 2^{2x} & =3^{\left(x^{2}\right)}\\ & \iff & \ln\left(2^{2x}\right) & =\ln\left(3^{\left(x^{2}\right)}\right)\\ & \iff & 2x\cdot\ln2 & =x^{2}\cdot\ln3 \end{aligned}$

Comments

Vielen Dank sehr hilfreich

Answer 4

$\left(2^{x}\right)^{2}=3^{\left(x^{2}\right)}$

<=> $2^{2x}=3^{\left(x^{2}\right)}$

<=> $2x \cdot ln(2)-x^{2}\cdot ln(3) = 0$

<=> $x \cdot ( 2\cdot ln(2)-x\cdot ln(3) )= 0$

<=> $x=0 \text{ oder } x= \frac{ 2\cdot ln(2)}{ln(3)}$

$2^{\left(x^{x}\right)}=\left(2^{x}\right)^{x}$

<=> $2^{\left(x^{x}\right)}= 2^{\left(x^{2}\right)}$

<=> $x^{x}= x^2$

<=> $x \cdot ln(x) = 2 \cdot ln(x)$

<=> $x \cdot ln(x) - 2 \cdot ln(x) = 0$

<=> $ln(x) \cdot ( x - 2 ) = 0$

<=>   x=1   oder  x=2