Zeigen Sie, dass die Gleichung eine Ellipse beschreibt, und bestimmen Sie die Längen der Halbachsen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Gleichung

\( 8 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=36 \)

in \( \mathbb{R}^{2} \). Zeigen Sie dass die Gleichung eine Ellipse beschreibt und bestimmen Sie die Längen der Halbachsen (deren Lage brauchen Sie nicht zu bestimmen).

Problem/Ansatz:

Comments

Länge der Halbachsen 3 und 2

Answer 1

\(8x^2-4xy+5y^2=36\iff x^2-1/2xy+5/8y^2=9/2\).

Quadratische Ergänzung liefert$$\iff (x-1/4y)^2+9/16y^2=9/2\iff \frac{(x-1/4y)^2}{(\frac{3}{\sqrt{2}})^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2}=1.$$Das ist eine Ellipse mit den Halbachsen \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) und \(2\sqrt{2}\) in

den Variablen \(\tilde{x}=x-1/4y\) und \(\tilde{y}=y\).

(ohne Gewähr !)

Comments

Hallo Ermanus,

da hab ich Bedenken: Deine Koordinatentransformation ist nicht orthonormal und verzerrt daher Längen und Winkel.

Ich denke, man muss umformen zu \(z^TAz=36, z=(x,y)\) und die Eigenwerte von A bestimmen.

Gruß Mathhilf

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Hallo mathhilf. Ich teile deine Bedenken, was die

Länge der Halbachsen angeht, da die angegebene Trafo

keine Isometrie ist; dennoch reicht mein Argument, zu zeigen,

dass es sich um eine Ellipse handelt; denn bei einer Scherung gehen

Kegelschnitte in Kegelschnitte desselben Typs über.

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Ah ja, das mit der Scherung wusste ich nicht.

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Eine Frage und zwar wie genau kommt man denn auf die Gleichung nach der quadratischen Ergänzung?

Answer 2

Weg zum Mittelpunkt des Graphen von \(f(x,y)=8x^2-4xy+5y^2-36\):

\(f(x,y)=8x^2-4xy+5y^2-36\)

\(f_x(x,y)=16x-4y\)          →  \(16x-4y=0\)  →  \(y=4x\)

\(f_y(x,y)=-4x+10y\)    →  \(-4x+10y=0\)    →  \(y=\frac{2}{5}x\)

\(4x=\frac{2}{5}x\)  → \(M(0|0)\)

Comments

Könntest du dem Fragesteller eventuell auch erklären,

- warum du die Gleichung als Funktion interpretierst

- warum du die partiellen Ableitungen bildest

- warum du diese gleich 0 setzt?

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Hier erklären doch einige nichts und klatschen nur eine Lösung hin.

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@abakus und @Apfelmännchen:

Direkt erklären könnt ihr das wohl besser. Ich habe die Lösungsmöglichkeit durch Ausprobieren und GeoGebra herausgefunden.

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Ich habe die Lösungsmöglichkeit durch Ausprobieren und GeoGebra herausgefunden.

Geogebra hat bestimmt nicht gesagt: "Bilde die partiellen Ableitungen und setze sie gleich 0".

Wo ist deine Quelle DIESES Vorgehens?

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Das Verfahren der partiellen Ableitungen kenne ich von der Minimierung von den Kosten mit dem Lagrange- Multiplikator. Warum das so ist, weiß ich nicht.

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An den Scheitelpunkten der Ellipse ist die Veränderung in jeweils eine der Richtungen gleich 0. Aufgrund der Symmetrie liefern die Scheitelpunkte die Koordinaten des Mittelpunktes.

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Das mag in achsenparalleler Lage zutreffen. Bei einer um den Ursprung gedrehten Ellipse ist das nicht so.

Für den Ursprung zählt ein viel einfacheres Argument:

Für jedes Paar (x,y), welches die Gleichung \( 8 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=36 \)

erfüllt, erfüllt auch das Paar (-x, -y) diese Gleichung.

Damit ist zwar noch nicht nachgewiesen, dass es eine Ellipse ist, aber es ist damit eine ursprungssymmetrische Form. Damit kann der Ellipsenmittelpunkt nur im Ursprung liegen.

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Allerdings geht es in der Frage nicht um den Mittelpunkt, sondern um die Halbachsen. Insofern ist die Antwort hier also eigentlich Müll. Ich bin immer noch der Meinung, das man schlechte Antworten auch abwerten können sollte.

Aber ja, dass der Ursprung der Mittelpunkt ist, sieht man sofort.

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Insofern ist die Antwort hier also eigentlich Müll.

Mathematiker sind eigentlich für präzisere Formulierungen bekannt.

Das heißt "Mülliets"!

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Das heißt "Mülliets"!

Bitte ziehe meinen Loungenamen nicht in den Dreck!

Answer 3

Ich würde eine Hauptachsentransformation durchführen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation

Danach kannst du leicht die Art des Kegelschnitts (hier Ellipse) und die Längen der Halbachsen bestimmen.

Hier vor und nach der Hauptachsentransformation