Ziffern von Quadrat und Kubikzahl

Question

Knobelaufgabe:

Von einer natürlichen Zahl wird das Quadrat und die Kubikzahl gebildet.
Die beiden erhaltenen Zahlen enthalten zusammen alle Ziffern 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 genau einmal.

Comments

Okay, versuchen wir es mal ohne Rechner. Die gesuchte Zahl ist größer oder gleich 47 und kleiner oder gleich 99. Sie endet nicht mit den Ziffern 0, 1, 5 oder 6.

---

Die Zahl muss mindestens 47 betragen, damit die Kubikzahl sechsstellig ist.

Die Zahl muss höchstens 99 betragen, damit das Quadrat vierstellig ist.

An der Einerstelle steht keine 0, keine 1, keine 5, keine 6, weil sonst Quadratzahl und Kubikzahl an der Einerstelle übereinstimmen würden.

Die Zahl ist nicht durch 3 teilbar, weil sonst sowohl Quadrat und Kubikzahl durch drei teilbar wären, die Summe der Quersummen dieser beiden Zahlen aber nicht durch 3 teilbar sein darf.

Es verbleiben die Zahlen 47, 49, 52, 53, 58, 59, 62, 64, 67, 68, 73, 74, 77, 79, 82, 83, 88, 89, 92, 94, 97 und 98.

---

Warum soll die Zahl nicht durch 3 teilbar sein?

---

Ist \(n\) durch \(3\) teilbar, dann ist sowohl \(n^2\) als auch \(n^3\) durch \(3\) teilbar. Dann wären aber auch deren Quersummen \(q_2\) bzw. \(q_3\) durch 3 teilbar.

Somit wäre auch \(q_2 + q_3\) durch \(3\) teilbar.

Laut Aufgabenstellung ist aber \(q_2 + q_3 = 55\).

---

Oops, ich sehe gerade \(q_2 + q_3 = 45\).

---

Die Zahl n = 69 kommt infrage.

---

Die Zahl n = 69 kommt infrage.

So ist es!

Und das ist auch die einzige Lösung.

---

Die Zahl n = 69 kommt infrage.

Und wie kommt man ohne Hilfsmittel darauf?

---

Wenn man alle Rechenregeln anwendet, bleiben ca. 15 Zahlen übrig (s.o.).

Die muss man überprüfen. Daher "Knobelaufgabe". :-)

Einen Beweis, warum es nur mit 69 geht, kenne ich nicht.

Answer 1

Hier hat einer einen Beweis dazu veröffentlicht.

Comments

Sehr gut, danke!