Rotationsmatrix, Länge des Weges bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei zu einem θ∈R

A=

cos θ	-sin θ
sin θ	cos θ

(eine Rotationsmatrix), sei b∈R^2 ein Vektor, sei

α>0 und sei γ:[a,b] -> R^2 ein C^1 Weg. Wir definieren σ(t):= αAγ(t)+b.

Drücke die Länge des Weges σ in der des Weges γ aus.

Answer 1

Hallo,

Drücke die Länge des Weges σ in der des Weges γ aus.

\(\sigma\) ist als affine Abbildung von \(\gamma\) definiert. $$\sigma = \alpha A \gamma(t) + \vec{b} \quad \det(A) = 1$$Ist \(L(\gamma)\) die Länge der Kurve \(\gamma\) und \(L(\sigma)\) die der Kurve \(\sigma\) dann sollte rein anschaulich rauskommen, dass die Länge \(L(\sigma)\) um \(\alpha\) gestreckt wird. Was sonst ;-)

Das kann man natürlich auch nachrechnen: Die Länge einer Kurve ist definiert als$$L(\gamma) = \int\limits_{t=a}^{b} \|\gamma'(t)\|\,\text{d}t$$genauso für \(\sigma\)$$L(\sigma) = \int\limits_{t=a}^{b} \|\sigma'(t)\|\,\text{d}t $$\(\sigma\) ist hier definiert mit$$\sigma(t) = \alpha \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\gamma(t) + \vec{b}$$es sei bemerkt, dass das \(\vec{b}\) mit dem \(b\) aus dem Intervall \([a,\,b]\) nichts zu tun hat. Zunächst wird \(\|\sigma'\|\) berechnet:$$\begin{aligned}\sigma'(t) &= \alpha \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\gamma'(t)\\ \sigma'(t) &= \alpha \begin{pmatrix} \cos(\theta)\gamma'_1 -\sin(\theta)\gamma'_2 \\ \sin(\theta)\gamma'_1 +\cos(\theta)\gamma'_2 \end{pmatrix}\\ \|\sigma'(t)\| &= \sqrt{\sigma'(t)^2} \\ &= \alpha \sqrt{\cos^2{\gamma'_{1}}^2 - 2\cos\sin{\gamma'_{1}}{\gamma'_{2}} + \sin^2{\gamma'_{2}}^2 + \sin^2{\gamma'_{1}}^2 +  2\cos\sin{\gamma'_{1}}{\gamma'_{2}} + \cos^2{\gamma'_{2}}^2}\\ &= \alpha \sqrt{\cos^2{\gamma'_{1}}^2 + \sin^2{\gamma'_{2}}^2 + \sin^2{\gamma'_{1}}^2 + \cos^2{\gamma'_{2}}^2}\\ &= \alpha \sqrt{\left(\cos^2 + \sin^2\right){\gamma'_{1}}^2 +\left(\sin^2 + \cos^2 \right){\gamma'_{2}}^2}\\ &= \alpha \sqrt{{\gamma'_{1}}^2 +{\gamma'_{2}}^2}\\&= \alpha \sqrt{{\gamma'}(t)^2}\\ &= \alpha \|\gamma'(t)\|\\\end{aligned}$$Einsetzen in \(L(\sigma)\) gibt:$$\begin{aligned} L(\sigma) &= \int\limits_{t=a}^{b} \|\sigma'(t)\|\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b} \alpha\|\gamma'(t)\|\,\text{d}t \\ &= \alpha \int\limits_{t=a}^{b} \|\gamma'(t)\|\,\text{d}t \\ &= \alpha L(\gamma)\\ \end{aligned}$$Gruß Werner