Konvergenz zeigen und Grenzwert bestimmen

Question

moin,

Diese Aufgabe überfordert mich ein wenig :-D hat jemand einen Tipp oder ne Idee ?

Sei a > 0 und x₀ ∈ ℝ mit 0 < x₀ < \( \frac{1}{a} \).  Sei (x_n)n∈ℕ ⊂ ℝ rekursiv definiert durch x_n := 2x_n-1 − ax²_n-1 für n∈ℕ. Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Gruß

Answer 1

Zeige (z.B. durch vollst. Induktion)

Folge ist monoton steigend und

nach oben beschränkt wegen

\( (x_{n-1}  - \frac{1}{a})^2 \ge 0\)

<=> \( (x_{n-1}^2  - \frac{2}{a}x_{n-1} + \frac{1}{a^2} \ge 0\)

und a>0

=> \( ax_{n-1}^2  - 2x_{n-1} + \frac{1}{a} \ge 0\)

=> \( ax_{n-1}^2  - 2x_{n-1} \ge - \frac{1}{a} \)

=> \(  2x_{n-1} - ax_{n-1}^2  \le  \frac{1}{a} \)

Also \(  x_{n}    \le \frac{1}{a} \)

Also konvergent und Grenzwert g mit

2g - a*g^2 = g

<=>  g - a*g^2 = 0

<=>  g=0 oder g=1/a.

Wegen des Steigens und x_o>0 also g=1/a