Epsilon-Delta-Kriterium und Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Seien $$f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ zwei Funktionen mit

$$f(x)=2|x-a|-6x$$ und $$g(x)=x^2+2x-1$$

Weisen Sie durch das Epsilon-Delta-Kriterium die Stetigkeit von f und g nach

Problem/Ansatz:

Das Epsilon-Delta-Kriterium lautet ja

$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ ist stetig bei $$x_0 \in D$$ wenn:

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall x \in D: |x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0) < \epsilon$$

Ich habe angefangen mit $$|f(x)-f(x_0)|= |2-|x-4|-6x-(2|x_0-4|-6x_0)|= 2-|x-4|-6x-2|x_0-4|+6x_0)|$$

Weiter komme ich nicht.

Ziel soll es ja sein x und x_0 auszuklammern wenn ich das richtig verstanden habe

Answer 1

Hier ist es immer günstig, die folgenden beiden Ungleichungen im Hinterkopf zu haben:

$$||a| - |b|| \leq |a\pm b| \text{ und }$$ $$ |a\pm b|\leq |a| + |b| $$

Damit erhältst du in deinem ersten Fall

\(|2|x-4|-6x-(2|x_0-4|-6x_0)| \)

\(\leq 2||x-4|-|x_0-4||+6|x-x_0| \)

\(\stackrel{x-4 - (x_0-4)=x-x_0}{\leq} 2|x-x_0| + 6|x-x_0| = 8|x-x_0|\stackrel{!}{<}\epsilon\)

Damit erhältst du \(\boxed{\delta_\epsilon = \frac{\epsilon}8}\).

Denn dann gilt

\(|f(x) - f(x_0)| \leq 8|x-x_0|< 8\delta_\epsilon =\epsilon \).

Comments

Und wie mache ich das für die Funktion g(x)?

|x^2-2x-1-(x0^2-2x0-1)|= |x^2-2x-1-x0^2+2x0+1|= |x^2-2x-x0^2+2x0|...und dann?