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Sei \( a>0 \) fest. Wir betrachten die durch
\( x_{0}:=1 \quad \text { und } \quad x_{n+1}:=\frac{1}{2} \cdot\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \quad \text { für } n \in \mathrm{N} \)
rekursiv definierte Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( x_{n} \geq \sqrt{a} \) für alle \( n \in \mathrm{N}^{*} \) ist.
Hinweis: Sie können einen Induktionsbeweis für die Aussage \( x_{n}>0 \) führen. Dann können Sie \( x_{n+1} \geq \sqrt{a} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) mittels Äquivalenzumformungen zeigen.
(b) Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \) monoton fallend ist.
Hinweis: Bestätigen Sie die zu zeigende Ungleichung mittels Äquivalenzumformungen.
(c) Begründen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) konvergiert und bestimmen Sie
\( x:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \in \mathbb{R} . \)
Aufgabe:
