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(a) Gegen welchen Wert aus \( \mathbb{R} \cup\{ \pm \infty\} \) konvergiert die Folge \( \left(\frac{n^{3}-3 n^{2}-8 n}{2 n^{4}+n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \). Begründen Sie ihre Antwort mithilfe der Grenzwertrechenregeln.
(b) Sei nun \( k \in \mathrm{N} \) und \( q \in \mathbb{R} \) fest.
(a) Zeigen Sie: Im Fall \( q>1 \) gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{q^{n}}{n^{k}}=\infty \)
Zeigen Sie damit dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(q^{n}-n^{k}\right)=\infty \)
Hinweis: Nutzen Sie bereits bekannte Grenzwerte sowie die Grenzwertrechenregeln.
(b) Ist die Folge \( \left(\frac{q^{n}}{n^{k}}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \) auch im Fall \( q<-1 \) bestimmt divergent? Begründen Sie Ihre Antwort indem Sie das Vorzeichen untersuchen.
(c) Zeigen Sie: Für alle \( C \in \mathbb{R} \) gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{C^{n}}{n !}=0 \).
Aufgabe:
