Stammfunktion von gebrochen rationaler Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich muss die Stammfunktion von

 \(\displaystyle \frac{-x}{1+x^2} \)

bestimmen.

Problem/Ansatz:

Irgendwie bin ich gerade ratlos, wie ich an die Sache rangehe. Ich muss bestimmt Integration durch Substitution oder sowas in die Richtung anwenden, ich weiß gerade nur nicht wie das dort gehen soll.

Kann mir jemand helfen?

Comments

Unter einer Stammfunktion einer Funktion f versteht man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion mit f übereinstimmt.

Das was Du angegeben hast, ist keine Funktion. Das was der Mathecoach angegeben hat, ist eine Funktion.

Answer 1

Sorge dafür, dass die Ableitung des Nenners im Zähler steht. Dann kannst du recht einfach Integrieren.

$$f(x) = \frac{-x}{1 + x^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x}{1 + x^2} \newline F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \ln(1 + x^2)$$

Answer 2

Ich muss bestimmt Integration durch Substitution

Das ist hier nicht notwendig.

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners, wenn man ihn mit -1/2 multipliziert.

->F(x) = -1/2*ln(1+x^2) +C

vgl:

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

So gehts hier mMn am schnellen, man kann F(x) fast "ablesen".

Ansonsten hier:

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Die Stammfunktion ist \( \frac{-1}{2} \)·ln(x²+1).

Comments

Ohne Erklärung?

Das ist ungewöhnlich für deine Verhältnisse.