Aloha :)
Die Summe$$S=\sum\limits_{i=1}^\infty2^{-i}\cdot\operatorname{min}(2^i;10^{14})$$teilen wir in 2 Teilsummen auf, um den Minimum-Faktor zu vereinfachen. Wenn \(2^i<10^{14}\) ist, gewinnt bei der Minimum-Auswahl \(2^i\), sonst gewinnt \(10^{14}\).
Schauen wir mal, bis zu welchem \(i\) der Faktor \(2^i\) gewinnt:$$2^i<10^{14}\quad\big|\log_2(\cdots)$$$$i<\log_2\left(10^{14}\right)=14\cdot\log_2(10)=14\cdot\frac{\ln(10)}{\ln(2)}\approx46,5$$
Daher zerfällt die Summe wie folgt:$$S=\sum\limits_{i=1}^{46}2^{-i}\cdot2^i+\sum\limits_{i=47}^\infty2^{-i}\cdot10^{14}=\sum\limits_{i=1}^{46}1+10^{14}\sum\limits_{i=47}^{\infty}\left(\frac12\right)^i=46+10^{14}\sum\limits_{i=47}^{\infty}\left(\frac12\right)^i$$
Um die Summenformeln für die geometrische Reihe anwenden zu können, also$$\sum\limits_{i=0}^nq^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad\sum\limits_{i=0}^\infty q^i=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$
wurde die verbliebene Summe umgeschrieben:$$S=46+10^{14}\left(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^i-\sum\limits_{i=0}^{46}\left(\frac12\right)^i\right)=46+10^{14}\left(\frac{1}{1-\frac12}-\frac{1-\left(\frac12\right)^{47}}{1-\frac12}\right)$$$$\phantom S=46+10^{14}\cdot2\cdot\left(\frac12\right)^{47}=46+\frac{10^{14}}{2^{46}}$$
