Kreuzprodukt von Mengen

Question

Aufgabe:

Seien G eine Beliebige nichtleere Menge, A,B, und C beliebige Teilemengen von G. Zeigen oder widerlegen Sie

$$A \times \overline{(B \cap C)}= (A\times \overline{B}) \cup (A\times \overline{C})$$

Problem/Ansatz:

Ich habe die Vermutung dass die Aussage falsch ist, aber ich finde kein Gegenbeispiel. Kann mir jemand helfen?

Ich würde drei Mengen A, B und C bilden

Answer 1

Wegen \(\overline{B} \subseteq \overline{B\cap C}\) ist

    \((A\times \overline{B}) \cup (A\times \overline{C})\subseteq A \times \overline{(B \cap C)}\).

Ein Gegenbeispiel muss deshalb

    \(A \times \overline{(B \cap C)}\nsubseteq (A\times \overline{B}) \cup (A\times \overline{C})\)

zeigen.

Alternativ dazu könntest du vermuten, dass die Aussage stimmt. Dann:

    Sei \((a,m)\in A \times \overline{(B \cap C)}\).

    Zeige dass \(m\in \overline{B}\vee m\in \overline{C}\) ist.

Comments

Aber welche Mengen kann ich wählen für das Gegenbeispiel?

Ich habe jetzt A={1,2,3}, B={1,2}, C={3,4}

A={1,2}, B={1}, C={2,3}

und A={leere Menge}, B={1}, C={2,3}

und bei allen dreien stimmt die Aussage

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bei allen dreien stimmt die Aussage

Das legt die Vermutung nahe, dass die Aussage stimmt.

Answer 2

Eine Bemerkung:

Nach DeMorgan gilt \(\overline{B\cap C}=\overline{B}\cup \overline{C}\)

Answer 3

$$A \times \overline{(B \cap C)} \newline = A \times (\overline{B} \cup \overline{C}) \newline = (A\times \overline{B}) \cup (A\times \overline{C})$$

Comments

und das wars schon?

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Ja. Zumindest solange Ihr die Rechenregeln für Mengen so benutzen dürft.

Wichtige Links zum Lesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre
https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt