Stetigkeit in R^2 nachweisen

Question

Aufgabe:

Untersuche die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin (x) \sin (y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie ich in \( \mathbb{R}^{2} \) Stetigkeit zeigen kann. In anderen Fragen habe ich viel über Polarkoordinaten gelesen, diese haben wir allerdings nicht im Kurs behandelt. Gibt es ein allgemeines Verfahren, um nicht nur die Stetigkeit an kritischen Stellen nachzuweisen/zu wiederlegen, sondern auch bei einer ganz stetigen Funktion die Stetigkeit zu zeigen?

Comments

Für \(x\ne0\) ist \(f(x,x)=\dfrac12\cdot\left(\dfrac{\sin(x)}x\right)^2\) und \(\,\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}x=1\).

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Das ist aber nur die Betrachtung an der kritischen Stelle (0,0), oder? wie kann ich denn generell sin(x)sin(y)/(x^2+y^2) auf stetigkeit untersuchen?

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Hallo

da du nur stetige Funktionen in Zähler und Nenner hast ist die Funktion ausser in Nenner  =0 als Zusammensetzung stetiger Fusionen stetig .

man muss die Stetigkeit bekannter Funktionen nicht immer neu bestimmen.

Gruß lul

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Wir müssen das leider in dieser Aufgabe machen - habe jetzt gelesen, das man das epsilon-delta Kriterium benutzen kann, indem man die euklidische Norm für das Delta benutzt, kann man das so zeigen?

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Hallo

Aber ihr hattet doch sicher, dass die Komposition usw. von stetigen Funktionen wieder stetig ist. Ich kann mir nicht vorstellen dass man das wirklich für jede neue Funktion mit epsilon und delta zeigen muss: Steht das denn explizit in der Aufgabe? Oder interpretierst du das da rein?

lul

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ja, das hatten wir. In dieser Aufgabe konkret steht nicht explizit, das das neu gezeigt werden muss, allerdings wurde Stetigkeit in R^n neu eingeführt und in der Übung (vergleichbare Aufgabe) musste das scheinbar neu gezeigt werden (diese Information habe ich von einem Kommilitonen bekommen, leider ohne Lösung der Aufgabe aus der Übung). In diesem Kurs speziell passiert es mir sehr oft, das ich nur die Hälfte (oder weniger) der Punkte bekomme, nicht weil die Lösung falsch ist, sondern weil zu wenig ausgeführt wurde, und ich selber teilweise nicht nachvollziehen kann, wieso die Lösung nicht ausreichend ist (siehe z.B. auch meine Frage vor dieser, die Lösung hat auch nur die Hälfte der Punkte gebracht). Deswegen möchte ich die Lösung einfach so genau wie möglich abgeben, lieber zu viel, als zu wenig.