Zwischen welchen Grenzen bewegt sich f? Logistische Funktion

Question

Die Funktion f(t) = \( \frac{300}{400e^(-3t) +3} \) dient als spezielle logistische Funktion zur Beschreibung eines Sättigungsprozesses wie etwa dem prozentualen Ausstattungsgrad von Haushalten mit Flatscreen-Fernsehern.

1) Zwischen welchen Grenzen bewegt sich f?

2) Zu welchem Zeitpunkt t ist das Tempo der Ausstattung am größten, d.h. wann nimmt der Ausstattungsgrad am meisten zu?

Mein Ansatz:

Obere Grenze liegt bei 100, weil wenn t sehr groß wird, geht e gegen 0 und da bleibt 300/3=100 übrig
Ich weiß leider nicht wie ich auf die untere Grenze komme und Aufgabe 2 verstehe ich auch nicht

Comments

Ich habe mich vertippt. Es ist nicht 400e sondern 42e^-3t+3

Answer 1

1) Zwischen welchen Grenzen bewegt sich f?

Grenzwerte für t --> ± ∞

Kannst du das berechnen oder Brauchst du Hilfe?

Deine obere Grenze 100 ist übrigens richtig.

2) Zu welchem Zeitpunkt t ist das Tempo der Ausstattung am größten, d.h. wann nimmt der Ausstattungsgrad am meisten zu?

Kannst du den Mittelwert der beiden Grenzwerte von 1) bilden und dann bestimmen zu welchem Zeitpunkt t dieser mittlere Bestand angenommen wird?

Comments

1. Die untere Grenze liegt bei 0, weil der Nenner gegen unendlich läuft?

2. Nein ich bräuchte dabei Hilfe

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1. Die untere Grenze liegt bei 0, weil der Nenner gegen unendlich läuft?

Das ist richtig.

2. Nein ich bräuchte dabei Hilfe

Mittelwert der oberen und unteren Grenze ist also 50. Ist das klar? Löse dann die Gleichung

300 / (42e^(-3t) + 3) = 50

Das solltest du schaffen, denke ich.

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Dass der MW 50 ist, war mir klar, hatte eher mit der Gleichung meine Schwierigkeiten.. Aber ich habe es nochmals versucht und hier ist meine Lösung:

300 = 50*(42e^(-3t)+3)
300 = 2100e^(-3t) + 150
150 = 2100e^(-3t)
1/14= e^(-3t)
ln(1/14) = lne^(-3t)
ln(1/14) = -3t
t= \( \frac{ln(1/4)}{-3} \) = 0,88

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30 = 50*(42e^(-3t)+3)

waren das nicht 300 statt 30. Bitte etwas sorgfältiger Arbeiten. Gerade beim Abschreiben. Und man muss nicht ausmultiplizieren sondern kann direkt nach t auflösen.

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Ja das stimmt ich muss mich wirklich mehr konzentrieren, lasse oft Punkte in Prüfungen liegen weil ich Zahlen vergesse oder ± vertausche

Ich habe es nochmal ausgebessert.

Wie löse ich direkt nach t auf?

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300 = 50*(42e^(-3t)+3)

300/50 = 42e^(-3t)+3

300/50 - 3 = 42e^(-3t)

(300/50 - 3)/42 = e^(-3t)

LN((300/50 - 3)/42) = -3t

LN((300/50 - 3)/42) / (-3) = t

Wobei hier ich extra nicht vereinfacht habe. Denn eigentlich kannst du so direkt auch in einem Schritt auflösen und gleich den Term

t = LN((300/50 - 3)/42) / (-3)

hinschreiben. Ist zwar nicht die feine Art, aber hat bei uns immer die volle Punktzahl gegeben.

Auch ist bei dir erneut wieder erstaunlich wie aus LN(1/14) plötzlich LN(1/4) wird. Das deutet arg auf eine Konzentrationsschwäche hin.

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Vielen Dank! (: