Aloha :)
Der Vektor \(\vec r=\binom{x}{f(x)}=\binom{x}{a(x-b)^2+c}\) fährt die Kurve ab. Die Länge ist daher:$$\ell=\int\limits_{\vec r(s)}^{\vec r(t)}dr=\int\limits_{s}^t\left\|\frac{d\vec r}{dx}\right\|dx=\int\limits_s^t\left\|\binom{1}{2a(x-b)}\right\|dx=\int\limits_s^t\sqrt{1+4a^2(x-b)^2}\,dx$$
Das Integral ist so schlimm, wie es aussieht. Wir betrachten daher zuerst:$$I\coloneqq\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\int\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx+\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}_{=v'}\,dx$$Das erste Integral ist ein Standardintegral.
Das zweite bestimmen wir mittels partieller Integration:$$I=\operatorname{arsinh}x+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}-\underbrace{\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}\,dx}_{=I}$$Wir erhalten auf der rechten Seite dasselbe Integral \(I\), von dem wir auf der linken Seite ausgegangen sind. Wir lösen die Gleichung nach \(I\) auf und erhalten:$$I=\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\operatorname{arsinh}x+\frac x2\sqrt{1+x^2}+\text{const}$$
Mit der Substitution \(u\coloneqq2a(x-b)\) kann man das Integral aus der Längenformel auf das gerade bestimmte Integral zurückführen. Die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen und gebe nur das Ergebnis an:$$\ell=\left[\frac{1}{4a}\operatorname{arsinh}(2a(x-b))+\frac{x-b}{2}\sqrt{1+4a^2(x-b)^2}\right]_s^t$$Darin kann man \(s\) und \(t\) einsetzen.
