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Aufgabe 8.4. Wir betrachten die Funktion\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } x=y=0, \\ \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { sonst. } \end{array}\right. \)


(b) Gegeben ist ein allgemeiner Richtungsvektor \( \vec{r}=\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right) \) (Richtungsvektoren sind immer normiert, d.h. \( a^{2}+b^{2}=1 \) ). Berechnen Sie die Richtungsableitungen von \( f \) im Punkt \( x_{0}=y_{0}=0 \) in Richtung \( \vec{r} \) anhand der Definition der Richtungsableitung.

(c) Berechnen Sie den Gradienten \( \nabla f(0,0) \) und vergleichen Sie den Wert \( \langle\nabla f(0,0), \vec{r}\rangle \) mit dem Ergebnis aus (b).

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Hallo

wo hakt es denn bei dir?

lul

Hallo!

Bei c) steh ich grad beim Gradienten an der stelle (0,0) an. Wie könnte ich den berechnen? Ist das der Nullvektor, weil die Fkt. bei x=y=0 Null ist?

Ja, es ist f(x,0)=0. Daher ist im Nullpunkt die partielle Ableitung nach x gleich 0...

und das Skalarprodukt in c) ist dann null?

Was sagt mir das in b) aus? In b) hab ich als Grenzwert = b^2/a für b und a ungleich Null bzw. Grenzwert = 0 für b gleich Null und a ungleich Null.

Es gilt: Wenn f in einem Punkt differenzierbar ist, können die Richtungsableitungen als Skalarprodukt aus Gradient und Richtung berechnet werden. Die Aufgabe zeigt: Die Voraussetzung der Differenzierbarkeit kann nicht ersatzlos gestrichen werden.

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