Wie viele nette Zahlen gibt es?

Question

Aufgabe:

n ist nett genau dann, wenn

*   \( n \in \N \)

*   \( n^4+4^n \)   ist Primzahl

Wie viele nette Zahlen gibt es?

Problem/Ansatz:

Comments

Dann sei so nett und teile deine Ideen mit.

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Man könnte Ideen auch gestützt auf "Rumprobieren" (vornehmer: "explorativ") entwicklen.

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Tipp: \(\,\large n^4+4^n=\left(n^2+n\cdot2^\frac{n+1}2+2^n\Big)\cdot\Big(n^2-n\cdot2^\frac{n+1}2+2^n\right)\).

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Genial!

Ich bin selbst nur so weit gekommen: Gerade Zahlen n gehen nicht, weil der Term dann durch 2 teilbar ist.

Für ungerade n ist der Term meistens durch 5 teilbar.

Ausnahme: n selbst ist durch 5 teilbar.

Jetzt ist diese Lücke auch geschlossen.

Answer 1

Ein Wunder ist geschehen! Normalerweise kommen bei Aufgaben dieser Art von ggT Kommentare wie

ein Gehirn verhexendes, nettes, aber auch nur trockenes Gedanken-Spielchen, faszinierend und ohne jeden
Lebensbezug. Hören, staunen, vergessen oder merken um damit vlt. anzugeben

Allerdings kann ich mich seinem

Dann sei so nett und teile deine Ideen mit.

bis zu einem gewissen Grad anschließen. Ich gehe allerdings erst einmal davon aus, dass du keine Ideen hast. Deshalb möchte ich konkretisieren: Du hast doch sicher vor dem Absenden dieser Frage die Werte des Terms \((n^4+4^n)\) für n=1, n=2, ... n=10 berechnet? Und dabei ziemlich oft herausgefunden, dass das Ergebnis nicht "nett" ist?

Konntest du darin ein Muster erkennen?