Zeigen Sie, dass die Abschätzungen für alle n ≥ m gelten

Question

Es sei f : [m, ∞) → R⁺, m ∈ ℤ, eine positive, monoton fallende und Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen Sie, dass die Abschätzungen

 \( \sum \limits_{k=m+1}^{n} f(k) \leq \int \limits_{m}^{n} f(x) d x \leq \sum \limits_{k=m}^{n-1} f(k) \)

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=m+1}^{n} f(k) \leq \int \limits_{m}^{n} f(x) d x \leq \sum \limits_{k=m}^{n-1} f(k) \)

für alle n ≥ m gelten.

Hätte jemand dafür eine Idee? Mein Ansatz ist sehr umständlich...

Comments

Zerlege

$$\int_m^nf(x)dx=\sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1}f(x)dx$$

und schätze jeden Summanden ab

Answer 1

Hallo

schreibe die Ober und Untersummen des Riemann Integrals hin  mit den Intervallängen 1 .

zeichne eine monoton fallende Funktion ein und die Ober und Untersumme, dann siehst du es direkt.

Gruß lul