Differenzialgleichung bestimmen mit folgender Lösung

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Differenzengleichung an, deren allgemeine Lösung wie folgt lautet:
\( y_{k}=C_{1}(2)^{k}+C_{2}(-4)^{k}+C_{3}(3)^{k} \quad \) für \( k=0,1,2,3, \ldots \)
Differenzengleichung:
Hinweis: Verwenden Sie für das Folgenglied \( y_{k} \) die Notation \( y[k] \).

Problem/Ansatz:

Bitte mit Rechenweg damit ich es nachvollziehen kann dankeschön :)

Answer 1

Das charakteristische Polynom zur gegebenen Lösung ist

$$p(x) = (x-2)(x+4)(x-3) = x^3-x^2-14x+24$$

Damit ergibt sich die lineare Differenzengleichung

$$y_{k+3}-y_{k+2}-14y_{k+1} + 24y_k = 0$$

Hier ist die Probe.