A^3=A finde charakteristisches und Minimalpolynome

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( A \in \operatorname{Mat}(3, \mathbb{C}) \) nicht idempotent mit \( A^{3}=A \). Listen Sie alle Möglichkeiten für \( \chi_{A} \) und \( \mu_{A} \) und geben Sie jeweils eine passende Beispielmatrix an.

Problem/Ansatz:

Ich habe nur ein charakteristisches Polynom. x^2-1 für (-1 1

                                                                                          0  1)

Gibt es eine möglichkeit die Systematisch zu finden?

Comments

\(A\) soll eine \(3\times 3\)-Matrix sein.

Answer 1

\(A\) ist "Nullstelle" des Polynoms \(X^3-X=X(X-1)(X+1)\).

Das Minimalpolynom \(\mu_A\) muss also

ein Teiler von \(X(X-1)(X+1)\) sein. Überlege dir, welche Möglichkeiten

dann für \(\mu_A\) in Frage kommen und bei welchen unter

ihnen \(A\) nicht idempotent ist.

Comments

Ich hab jetzt die Matrix (0 0 0 | 0 -1 0 | 0 0 1)

Da ist \(\mu_A\) = \( \chi_{A} \)

Soll ich jetzt für x(x-1)

x(x+1) noch eine finden?

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Ja, wenn es möglich ist.

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Ok vielen Dank.

Für x(x-1) ist es idempotent oder? denn x^2-x =0 <=> x^2=x

und für x(x+1) nicht