Bestimmen Sie die orthogonale Projektion P_{\Pi_{4}([-1,1]) → W}(f) von f auf W .

Question

Seien \( p_{1}, p_{2} \in \Pi_{4}([-1,1]) \), wobei \( p_{1}(t)=t \) und \( p_{2}(t)=t^{2} \) ist. Sei weiterhin folgendes Skalarprodukt definiert:

\( \langle p, q\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} p(t) q(t) \mathrm{d} t, \quad p, q \in \Pi_{4}([-1,1]) \)
sowie \( W:=\operatorname{spann}\left(p_{1}, p_{2}\right) \) und sei \( f \in \Pi_{4}([-1,1]) \) mit \( f(t)=1+t^{2}+t^{3} \). Bestimmen Sie die orthogonale Projektion \( P_{\Pi_{4}([-1,1]) \rightarrow W}(f) \) von \( f \) auf \( W \).

Answer 1

\( \langle p_1, p_2\rangle=\int \limits_{-1}^{1} t^3 \mathrm{d} t = 0 \)    also gilt  p1 ⊥ p2 .

Dann hast du also für die Projektion von f aus W den Ansatz:

ap₁ + bp₂

mit \(  a=\frac{ \langle f, p_1\rangle}{ \langle p_1, p_1\rangle}  \)  und   \(  b=\frac{ \langle f, p_2\rangle}{ \langle p_2, p_2\rangle}  \)

Ausrechnen gibt \(   \langle f, p_1\rangle=\int \limits_{-1}^{1} (1+t^{2}+t^{3})\cdot t \mathrm{d} t =0,4 \)   etc.

Ich bekomme für die Projektion \( P_{\Pi_{4}([-1,1]) \rightarrow W}(f) =  \frac{3}{5}t + \frac{8}{3}t^2  \)