gibt es genau drei nullstellenlose normierte Polynome f ∈ F3[x] mit deg(f) = 2.

Question

stimmt das? wenn nein warum?

Es gibt genau drei nullstellenlose normierte Polynome f ∈ F3[x] mit deg(f) = 2.

Problem/Ansatz:

Answer 1

normierte Polynome von Grad 2 gibt es da doch nur 9.

x^2          Nst. bei 0

x^2+1      keine Nst.

x^2+2      Nst. bei 1

x^2+x     Nst. bei 0

x^2+x+1  Nst. bei 1

x^2+x+2  keine Nst.

x^2+2x   Nst. bei 0

x^2+2x+1   Nst. bei 2
x^2+2x+2   keine Nst.

Also stimmt es !

Answer 2

Es gibt genau \(p(p-1)/2\) nullstellenfreie normierte Polynome

vom Grad 2 über \(\mathbb{F}_p\):

insgesamt gibt es \(p^2\) normierte Polynome vom Grad 2.

Darunter sind die normierten Polynome vom Grad 2 mit einer oder zwei

verschiedenen Nullstellen, also von der Form

\((x-x_1)(x-x_2)\). Dies sind so viele Polynome, wie

es ein- oder zweielementige Teilmengen von \(\{0,\cdots,p-1\}\)

gibt, also \(p+p(p-1)/2=p(p+1)/2\).

Somit ergibt sich für die gesuchte Anzahl:  \(p^2-p(p+1)/2=p(p-1)/2\)