Wo liegt mein Fehler, eigentlich muss mn das Sklarprodukt der Vektoren …

Question

Aufgabe:

Ein Viereck hat die Eckpunkte O(0|0|0) P(2|3|5) Q(5|5|6) R( 1 |4|9)

Wie groß ist der Winkel OPQ

Problem/Ansatz:

Ich komme auf alpha= 42,4 °

Jedoch steht in der Lösung alpha=137,5°

Wenn man 180-42,5 rechnet kommt man auf 137,5

Wo liegt mein Fehler, eigentlich muss man den Winkel doch nur von 180 subtahieren Wenn das Sklarprodukt der Vektoren negativ ist oder nicht?

Vielen Dank!

Answer 1

PO = [-2, -3, -5]

PQ = [3, 2, 1]

ARCCOS([-2, -3, -5]·[3, 2, 1]/(ABS([-2, -3, -5])·ABS([3, 2, 1]))) = 137.5°

Wenn der Innenwinkel gemeint ist sollte dre aber größer als 180 Grad sein.

Comments

Hallo, vielen Dank aber warum hast du den Vektor PO und nicht OP gebildet, wenn ich

alpha= arccos (Skalarprodukt der Vektoren OP und PQ/ Betrag von OP * Betrag von PQ ) bilde komme ich auf alpha = 42,4°

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UM den Winkel an einem Punkt zu berechnen müssen die beiden Vektoren entweder beide vom Punkt wegzeugen oder beide zum Punkt hinzeigen. Wenn einer Hin und der andere Wegzeigt geht es nicht, dann berechnest du den Gegenwinkel.

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Vielen Dank, jedoch habe ich noch eine Verständnisfrage.:

Das Skalarprodukt der Vektoren ist doch negativ, weshalb man dieses in Betrag setzt. Dann kommt aber wieder 42,4 raus und nicht 137,5°. Oder muss man in diesem Fall das negative Skalarprodukt in Betrag setzen?

Vielen Dank!

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Wenn es um den Winkel zwischen zwei Vektoren (gerichtete Objekte) geht nimmst du KEINEN Betrag!

Geht es um den Winkel zwischen zwei sich schneidende Geraden oder zwischen zwei sich schneidende Ebenen, also um den Winkel zwischen ungerichteten Objekten, dann nimmst du den Betrag.

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Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden! Sind ungerichtete Objekte nur Vektoren oder auch noch andere Dinge?

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Vektoren sind gerichtete Objekte und nicht ungerichtete Objekte.

Gerichtet sind also Vektoren und alles was durch Vektoren auch dargestellt wird, wie Kräfte, Geschwindigkeiten etc. Eigentlich alles was eine bestimmte Richtug hat.

Ungerichtet sind, Geraden, Ebenen etc. Also Objekte die keine bevorzugte Richtung haben.

Manchmal ist der Unterschied nicht ganz so eindeutig. So Interpretiere ich die x-Achse meist nicht als Gerade, sondern eben mit einer Richtung nach rechts.

Aber oben war ja genau nach dem Winkel OPQ gefragt. Auch das an sich ist noch nicht wirklich genau genug definiert. Normal bedeutet es der Winkel den PO und PQ entgegen dem Uhrzeigersinn bilden. Im Raum ist die Definition im oder gegen den Urzeigersinn etwas problematisch. Das könnte hier also durchaus zwei verschiedene Winkel sein.

Mit dem Winkel der analytischen Geometrie nimmst du immer den kleineren der beiden Winkel. Hier also der Winkel den PO und PQ außerhalb des Vierecks bilden.

Answer 2

Der Winkel ist OPQ. D.h., der Scheitel ist P.

\(PO = (-2,-3,-5)\) und \(PQ = (3,2,1)\).

Damit erhältst du \(\angle OPQ \approx 137.5°\).

Comments

Hallo, vielen Dank aber warum hast du den Vektor PO und nicht OP gebildet, wenn ich

alpha= arccos (Skalarprodukt der Vektoren OP und PQ/ Betrag von OP * Betrag von PQ ) bilde komme ich auf alpha = 42,4°

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Weil bei der Bezeichnung eines Winkels mit Hilfe dreier Punkte - hier OPQ - der mittlere - also P - üblicherweise der Scheitel des Winkels ist.

Answer 3

α= 42,4 ° ist sehr ungenau. Genauer wäre α ≈ 42.51982979. Wo genau dein Fehler liegt, kann man aus deinen Angaben nicht entnehmen.