Zeigen Sie , dass die abgeschlossene Einheitskugel im R^n überdeckungskompakt ist!

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie , dass die abgeschlossene Einheitskugel im R^n überdeckungskompakt ist

Problem/Ansatz:

Nachdem man nicht verwenden darf, dass Folgen- und Überdeckungskompaktheit äquivalent sind, weiß ich nicht so recht, wie ich diese Aussage zeigen soll!

Comments

Weiß jemand, wie ich diese Aufgabe zeigen kann, OHNE die Äquivalenz von Folgen- und Überdeckungskompaktheit zu verwenden?

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Kann ich den Beweis so führen?

\( \operatorname{Sei} B_{1}(0)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}:\|x\|<1\right\} \) und \( \overline{B_{1}(0)}= \) \( \left\{x \in \mathbb{R}^{n}:\|x\| \leq 1\right\} \)

\( \Rightarrow \overline{B_{1}(0)} \) ist beschränkt,denn es gilt:
\( \sup _{x \in \bar{B}_{1}(0)<1}\|x\| \leq \sup _{x \in B_{1}(0)} 1=1<\infty \)

\( \Rightarrow \overline{B_{1}(0)} \) ist abgeschlossen, denn mit Folgencharakterisierung von Abgeschlossenheit gilt:
Beliebige Folge \( \left(X_{n}\right) n \in \mathbb{N} \subset \overline{B_{1}(0)} \) weíl \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) für \( \operatorname{ein} x \in \mathbb{R}^{n} \)
\( \begin{aligned} z.z x \in \overline{B_{1}(0)} \Rightarrow\|x\|=\left\|\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}\right\| & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}\right\| \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1=1 \end{aligned} \)
Nach Heine-Borel folgt, dass \( \overline{B_{1}(0)} \) kompakt in \( \mathbb{R}^{n} \) ist (da abgeschlossen und beschränkt).

Answer 1

Richte dich nach dem Beweis, dass Folgen- und Überdeckungskompaktheit äquivalent sind.

Comments

Danke für die Antwort, aber wie hilft mir der Beweis, dass Folgen- und Überdeckungskompaktheit äquivalent sind, wenn ich diese Äquivalenz nicht verwenden darf??

Der Beweis dafür, dass Folgen- und Überdeckungskompaktheit äquivalent sind, ist mir grundsätzlich bekannt:

Zuerst zeigt man durch Widerspruch, dass aus Überdeckungskompaktheit die Folgenkompaktheit folgt und dann eben die andere Richtung - ich sehe aber nicht, wie mir das jetzt weiterhilft?

LG