Lagebeziehungen, Schnittpunkte und Schnittwinkel von Geraden

Question

Gegeben seien die drei Geraden $$ g:\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 2 \end{array}\right), \\ h:\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} -6 \\ 9 \\ -3 \end{array}\right), \\ i:\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right).$$ Untersuchen Sie die Lagebeziehungen und berechnen Sie ggf. Schnittpunkt und Schnittwinkel für

a) \(g\) und \( h \)

b) \( h \) und \(i\).

Comments

Wie man herausfindet ob sich zwei Geraden im Raum schneiden und wie man allenfalls den Schnittpunkt ausrechnet, hat man Dir ja bei Deiner letzten Frage gezeigt. Was ist nun Deine Frage dazu oder Dein Ergebnis für die Schnittpunkte?

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Guck mal hier:

https://de.serlo.org/mathe/58154/gegenseitige-lage-von-geraden-und-geraden

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Ne leider weiß ich das nicht…

Wie geht das denn das ist total schwierig

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Studiere doch mal die Antwort zu Deiner vorherigen Frage. Dort wurde es erklärt.

Bevor Du das mit den Schnittpunkten nicht kannst, macht es wahrscheinlich wenig Sinn, noch etwas zu den Winkeln zu unternehmen.

Answer 1

Ich führe dir vor, wie du herausfindest, ob g und h einen Schnittpunkt haben: Gleichsetzen von g und h:

\( \begin{pmatrix} -3\\4\\1 \end{pmatrix} \)+r·\( \begin{pmatrix} 4\\-6\\2 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\4\\-1 \end{pmatrix} \)+s·\( \begin{pmatrix} -6\\9\\-3 \end{pmatrix} \)

Daraus machst du die Komponentengleichungen:

(1) -3+4r=0 - 6s

(2) 4 - 6r=4+9s

(3) 1+2r = -1 - 3s

Aus (1) und (2) bestimmst du r und s. Die Lösungen setzt du in (3) ein. Wenn das eine wahre Aussage ergibt, haben g und h einen Schnittpunkt, sonst sind sie windschief zueinander. Wenn du hier vorführst, welche Lage h und h zueinander haben, mache ich weiter.

Comments

Die dritte Komponente des Richtungsvektors von \(h\) war \(\red{-}3\).

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Danke für den Hinweis. Korrektur ist erfolgt.

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Oh Mann, vielen Dank aber ich weiß leider nicht mal wie man das macht. Ich kriege jetzt irgendwie 3/2 s raus oder sowas.

Vielleicht könnt ihr mir bitte noch mal weiterhelfen, dass ich wenigstens die ersten beiden Aufgaben habe. Also die Lage Beziehung und ob so weil ich möchte nicht einfach nur die Lösungen von euch haben aber leider bin ich so schlecht organisiert und ich war die ganze Zeit krank, das ich langsam echt verzweifeln ich möchte ja gut sein aber wenn man den Weg nicht weißt, dann geht’s nicht :(

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Forme das Gleichungssystem von Roland so um, dass alle Summanden mit r und s auf der linken und nur die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung stehen. Dann wird es übersichtlicher.

\(4r+6s=3\\ -6r-9s=-4\\ 2r+3s=-2\)

Wenn du 3. Gleichung mit -2 multiplizierst und zur 1. addierst, erhältst du 0 = -1. Da diese Aussage falsch ist, haben die Geraden keinen Schnittpunkt.

Das Gleichungssystem kannst du dir in diesem Fall aber sparen, wenn du die Richtungsvektoren der Geraden betrachtest. Sie sind ein Vielfaches voneinander, denn \(\begin{pmatrix} 4\\-6\\2 \end{pmatrix}\cdot (-1,5)=\begin{pmatrix} -6\\9\\-3 \end{pmatrix}\) und die Geraden somit parallel.

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Oh Mann, vielen vielen Dank liebe Silvia und was sind jetzt Schnittwinkel? Die gibt es doch auch nicht oder? weil es ja auch kein Schnitt Gibt?

Liebe Grüße

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Genau, Schnittwinkel hast du nur bei sich schneidenden Geraden.

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(1) -3+4r=0 - 6s   |·3
(2) 4 - 6r=4+9s    |·2

(I) -9+12r=-18s

(II) 8+12r=8+18s

Addieren

- 1 = 8

Schon diese Aussage ist falsch.

Es gibt keinen gemeinsamen Punkt von g und h.

PS. Hast du mal über Nachhilfeunterricht nachgedacht?