1 ist richtig.
Gegenbeispiel für 2 und 3:
Die alternierende harmonische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \) konvergiert nach dem Leibniz'schen Konvergenz-Kriterium.
Aber
Die harmonische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) divergiert.
Die Reihenglieder konvergieren gegen 0, trotzdem divergiert die Reihe. Dazu betrachten wir die speziellen Partialsummen
\( \begin{aligned} S_{2^{k}}= & \sum \limits_{n=1}^{2^{k}} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\sum \limits_{i=1}^{k-1}\left(\sum \limits_{n=2^{i}+1}^{2^{i+1}} \frac{1}{n}\right) \\ = & 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \\ & +\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}\right) . \end{aligned} \)
Da die Summe jeder Klammer \( \geqslant \frac{1}{2} \) ist, folgt
\( S_{2^{k}} \geqslant 1+\frac{k}{2} \)
Also ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt, d.h. es gilt
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty \)
Beweis für 1:
Sei \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe. Nach dem Cauchyschen Konvergenz-Kriterium für die Reihe \( \sum\left|a_{n}\right| \) gibt es zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \), so dass
\( \sum \limits_{k=m}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geqslant m \geqslant N . \)
Daraus folgt
\( \left|\sum \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right| \leqslant \sum \limits_{k=m}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geqslant m \geqslant N . \)
Wiederum nach dem Cauchyschen Konvergenz-Kriterium konvergiert daher \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \), q.e.d.
Damit ist auch 4 und 5 widerlegt
