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Aufgabe:

Was ist stets richtig?

1. Wenn eine Reihe absolut konvergiert, so konvergiert sie (aber nicht umgekehrt).

2. Wenn eine Reihe konvergiert, so konvergiert sie absolut (aber nicht umgekehrt).

3. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn sie absolut konvergiert. (Dies sind Synonyme.)

4. Es gibt genau drei FÄlle: Entweder eine Reihe konvergiert, oder sie konvergiert absolut, oder sie divergiert.

5. Es gibt genau vier Fälle: Entweder eine Reihe konvergiert, oder sie konvergiert absolut, oder sie divergiert, oder sie divergiert absolut.


Problem/Ansatz:


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Rufe 'Konvergenz', 'absolute Konvergenz' und 'Divergenz' im Netz auf.

Teil uns doch mal deine Iden dazu mit. möglichst mit Begründung , oder Gegenbeispiele.

Keine Ahnung. Das steht so deshalb bin ich verwirrt muss nur ein Anwort auswahlen

1 Antwort

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1 ist richtig.


Gegenbeispiel für 2 und 3:

Die alternierende harmonische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \) konvergiert nach dem Leibniz'schen Konvergenz-Kriterium.


Aber

Die harmonische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) divergiert.
Die Reihenglieder konvergieren gegen 0, trotzdem divergiert die Reihe. Dazu betrachten wir die speziellen Partialsummen
\( \begin{aligned} S_{2^{k}}= & \sum \limits_{n=1}^{2^{k}} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\sum \limits_{i=1}^{k-1}\left(\sum \limits_{n=2^{i}+1}^{2^{i+1}} \frac{1}{n}\right) \\ = & 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \\ & +\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}\right) . \end{aligned} \)
Da die Summe jeder Klammer \( \geqslant \frac{1}{2} \) ist, folgt
\( S_{2^{k}} \geqslant 1+\frac{k}{2} \)
Also ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt, d.h. es gilt
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty \)



Beweis für 1:

Sei \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe. Nach dem Cauchyschen Konvergenz-Kriterium für die Reihe \( \sum\left|a_{n}\right| \) gibt es zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \), so dass

\( \sum \limits_{k=m}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geqslant m \geqslant N . \)

Daraus folgt
\( \left|\sum \limits_{k=m}^{n} a_{k}\right| \leqslant \sum \limits_{k=m}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geqslant m \geqslant N . \)
Wiederum nach dem Cauchyschen Konvergenz-Kriterium konvergiert daher \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \), q.e.d.


Damit ist auch 4 und 5 widerlegt

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