Gefragt sind die Nullstellen und Extrema + Wendepunkte der Funktionsschar ft(x)= tx^3+3x²-x

Question

Bestimme Nullstellen und Extrema der Funktionsschar ft(x)=tx^3+3x²-x
Mir ist klar dass ich ausklammer und pq Formel anwenden soll doch bei der pq Formel fehlt es mir dann an wissen
x2/3 = -3:2t+-<( wurzel aus (3:2t)²+1:t )

Wie fasse ich zusammen ? Ich habe die Lösung doch verstehen tue ich nicht wie man darauf kommt .

Vielen dank für zukünftige Antworten

Comments

Nullstellen finden:$$ f_t(x)=x \cdot (tx^2+3x-1)  $$t ausklammern:$$ f_t(x)=tx \cdot (x^2+\frac{3}{t}x-\frac{1}{t})$$$$x_1=0$$Mitternachtsformel:$$x_{2,3}=-\frac{3}{2t} \pm \sqrt{\left(-\frac{3}{2t}\right)^2-(-\frac{1}{t})}=-\frac{3}{2t} \pm \sqrt{\left(\frac{9}{4t^2}\right)+\frac{1}{t}}$$

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Extrema:$$f'_t(x)=3tx^2+6x-1  $$Nullstellen:$$3t(x^2+\frac{6x}{3t}-\frac{1}{3t})=0$$$$x_{1,2}=-\frac{1}{t}\pm \sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{3t}}$$

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@sigma: Wölltest Du das wieder als Antwort posten? :)

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Nein, ich bin mir unsicher, ob meine Antwort den Fragenden zufrieden stellt.

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Da kann dann nachgefragt werden ;). Und die Basis die Du lieferst ist sehr fundamentiert.

Answer 1

Nullstellen und Extremwerte sind ja bereits vorhanden  

Hier noch die Wendepunkte

ft(x)=tx³+3x²-x

ft ' (x) = 3tx^2 + 6x -1

ft ''(x) = 6tx + 6         = 0

6tx + 6 = 0

tx = -1

x = -1/t

Dazu y = t(-1/t^3) + 3(1/t^2) + 1/t = -1/t^2 + 3/t^2 + t/t^2 = (2+t)/t^2.

Wt(-1/t | (2+t)/t^2)

Vielleicht ist auch die Ortslinie der Wendepunkte gefragt.

Dazu setze ich mal t = -1/x ein in ft(x)

y = -1/x *x^3 + 3x^2 -x = -x^2 + 3x^2 -x = 2x^2 -x

Kontrolle: alle Wendepunkte liegen auf der violetten Parabel. Natürlich ist t≠0. Bei t=0 gibt es gar keinen Wendepunkt.