Wieso kann hier so umgeformt werden?

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!k} = \sum \limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{n!}{k!(n-k)!n} \)

Problem/Ansatz:

Wieso wird - 1 einfach weggelassen und k wird zu n? Könnte mir das jemand erklären bitte

Answer 1

Es ist ganz einfach. Das (k-1)! wird zu k!, da (k-1)! * k = k!

Das n im Nenner kommt daher, dass (n-1)! = n!/n, denn n!= n*(n-1)!