Wie werden Brüche so umgeformt?

Question

Aufgaben:

Text erkannt:

\( \frac{1}{c+2}-\frac{1}{3 a}+\frac{2 b+1}{6 a b}=\frac{6 a b+c+2}{6 a b(c+2)} \)

Text erkannt:

\( \frac{a^{2}-4 b^{2}}{14 a^{2}} \cdot \frac{7 a}{2 a+4 b}=\frac{a-2 b}{4 a} \)

Problem/Ansatz:

Wie werden die Brüche umgeformt, dass genau das Ergebnis dabei rauskommt? Ich verstehe den Ansatz hierbei leider nicht, könnte mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

a^2-4b^2 = (a+2b)(a-2b)

2a+4b = 2(a+2b)

Damit lässt sich kürzen. 14 und 7 kann man ebenfalls kürzen,

Answer 2

Aloha :)

1) Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.$$\phantom{=}\frac{a^2-4b^2}{14a^2}\cdot\frac{7a}{2a+4b}=\frac{(a^2-4b^2)\cdot7a}{14a^2\cdot(2a+4b)}$$Jetzt können wir Faktoren, die im Zähler und im Nenner gemeinsam auftauchen, kürzen. Dazu erinnern wir uns an die dritte binomische Formel$$a^2-4b^2=a^2-(2b)^2=(a-2b)(a+2b)$$und schreiben den Bruch damit etwas um:$$=\frac{\overbrace{(a-2b)\cdot(a+2b)}^{=a^2-4b^2}\cdot7a}{\underbrace{2a\cdot7a}_{=14a^2}\cdot\underbrace{2\cdot(a+2b)}_{=(2a+4b)}}=\frac{(a-2b)\cdot\cancel{(a+2b)}\cdot\cancel{7a}}{2a\cdot\cancel{7a}\cdot2\cdot\cancel{(a+2b)}}=\frac{a-2b}{4a}$$

2) Brüche werden addiert, indem man sie durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner bringt und anschließend die Zähler addiert:

$$\phantom{=}\frac{1}{c+2}-\frac{1}{3a}+\frac{2b+1}{6ab}=\frac{1}{c+2}-\frac{1}{3a}\cdot\underbrace{\frac{2b}{2b}}_{=1}+\frac{2b+1}{6ab}=\frac{1}{c+2}-\frac{2b}{6ab}+\frac{2b+1}{6ab}$$$$=\frac{1}{c+2}+\frac{-2b+2b+1}{6ab}=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{6ab}=\frac{1}{c+2}\cdot\underbrace{\frac{6ab}{6ab}}_{=1}+\frac{1}{6ab}\cdot\underbrace{\frac{c+2}{c+2}}_{=1}$$$$=\frac{6ab}{6ab(c+2)}+\frac{c+2}{6ab(c+2)}=\frac{6ab+c+2}{6ab(c+2)}$$