Aloha :)
In der Realität ist der Abstand von \((4;6)\) und \((10;13)\) zu groß, um durch Linearisierung eine vernünftige Abschätzung der Änderung der Funktionswerte angeben zu können. Das geht im Allgemeinen schief. Da es in der Aufgabenstellung aber so gefordert ist, geben wir die Rechnung an. Aus dem Differential$$df(x_0;y_0)=\frac{\partial f(x_0;y_0)}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f(x_0;y_0)}{\partial y}\,dy$$ermitteln wir mit \((x_0;y_0)=(4;6)\) und \((dx=10-4=6)\) bzw. \((dy=13-6=7)\).die linearisierte Änderung:$$\Delta f=\frac{\partial f(4;6)}{\partial x}\cdot6+\frac{\partial f(4;6)}{\partial y}\cdot7$$
Für die Ableitungen finden wir:$$\frac{\partial f(4;6)}{\partial x}=\left(y+\frac1y\right)_{(x;y)=(4;6)}=\frac{37}{6}$$$$\frac{\partial f(4;6)}{\partial y}=\left(x-\frac{x}{y^2}\right)_{(x;y)=(4;6)}=\frac{35}{9}$$
Damit lautet die gesuchte Änderung:$$\Delta f=\frac{37}{6}\cdot6+\frac{35}{9}\cdot7=\frac{578}{9}=64,\overline2$$
