Sei \(K=f(0)+1\). Wegen \(\lim_{\|x\|\to \infty}f(x)=+\infty\) gibt
es ein \(L>0\), so dass gilt \(\|x\|>L\Rightarrow f(x)>K\).
Wir betrachten die Menge
\(M=\{x\in \mathbb{R}^n\; : \;f(x)\leq K\}=f^{-1}((-\infty,K])\). Da \(f\) stetig ist,
ist also \(M\) als Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen und
wegen \(0\in M\) nicht leer.
Da \(f(x)\leq K \Rightarrow \|x\|\leq L\) gilt, ist \(M\)
beschränkt, nach Heine-Borel also kompakt.
Daher gibt es ein \(x_0\in M\) mit \(f(x_0)=\min_{x\in M} f(x)\).
Für \(x\notin M\) gilt ferner \(f(x)>K\geq f(x_0)\).
Es liegt also bei \(x_0\) ein globales Minimum vor.
