0.99-Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert

Question

Aufgabe:

Das Einzelgewicht \( X \) von Bananen einer bestimmten Sorte sei als normalverteilte Zufallsvariable anzusehen. Eine einfache Stichprobe vom Umfang \( n=13 \) erbrachte ein Gesamtgewicht von \( 2142.12 \mathrm{~g} \) und eine Stichprobenstandardabweichung von \( 3.4 \mathrm{~g} \).

Geben Sie eine Punktschätzung für das durchschnittliche Gewicht einer Banane dieser Sorte an und geben Sie Ihr Ergebnis dabei kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen gerundet an. Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: 164.78

Geben Sie ein 0.99-Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert an und runden Sie Ihre Ergebnisse dabei kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen.

Die untere Grenze des Konfidenzintervalls ist: Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: 162.35
Die obere Grenze des Konfidenzintervalls ist: Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: 167.21

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich den Rechenweg und alles korrekt berechnet habe meines Erachtens, jedoch die Lösung für die untere und obere Grenze falsch ist. Die richtigen Ergebnisse lauten 161,78 und 167,68. Ich frage mich, wo mein Fehler ist oder ob das Ergebnis tatsächlich falsch ist. Meine Rechnung war wie folgt: 164,78 +- 2,5758 * 3,4/ wurzel 13

Answer 1

Da die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt wurde und der Stichprobenumfang \(n=13\) ziemlich klein ist, musst du die t-Verteilung benutzen.

Zusätzlich muss man hier noch wissen, dass die angegebene Standardabweichung mit der Formel \(s_{\color{blue}{n}}^2 = \frac 1{\color{blue}{n}} \sum_{k=1}^n(x-\bar x)^2\) berechnet wurde. Ich interpretiere das als mutwillige bösartige Falle in der Aufgabe.

Um die t-Verteilung benutzen zu können, benötigt man aber die sogenannte korrigierte Standardabweichung

\(s_{\color{blue}{n-1}}^2 = \frac 1{\color{blue}{n-1}} \sum_{k=1}^n(x-\bar x)^2 = \frac n{n-1}s_n^2 \quad (1)\)

Bei \(df = 13-1 = 12\) Freiheitsgraden und 99% Konfidenzniveau gilt

\(t_{12,0.005} = 3.055\) und die Grenzen des Konfidenzintervalls sind

\(\bar x \pm t_{12,0.005}\cdot\frac{s_{\color{blue}{12}}}{\sqrt{13}}\stackrel{\color{blue}{(1)}}{=} 164.78\pm 3.055\cdot \frac{3.4}{\sqrt{\color{blue}{12}}} \)

Damit erhältst du die angegebene untere Grenze. Bei der oberen Grenze nehme ich an, dass du dich vertippt hast.

Hier noch ein Screenshot mit der Probe:

Comments

Ich interpretiere das als mutwillige bösartige Falle in der Aufgabe.

vgl dazu: Hanlons Rasiermesser. Vielleicht hat sich ja der Assi vertan.