Schätzverfahren , konfidenzintervall 1-α=0,99

Question

Briefumschläge für die Luftpost sollen weniger als 2 Gramm wiegen. Der Lieferant bestätigt seinem Großkunden ein mittleres Gewicht von 1.95 g und eine Standardabweichung von 0,1 g. Der Kunde entnimmt einer Liefe-rung 200 Umschläge. Im Durchschnitt wiegen sie 1,97 Gramm mit einer durchschnittlichen Abweichung von 0,02 Gramm.

a) Stimmt die Angebe des Herstellers? Überprüfen Sie dies mit 1-α=0,99.

b) Wie schwer sind demnach die Umschläge höchstens (1-α=0,99)?

Meine Lösung:

Xob= 1,97 + 2,58 * 0,01/200 = 1,977

Xun= 1,97 - 2,58 *0,01/200 = 1,963

a) die Angabe des Herstellers stimmt nicht, weil das durchschnittliche  Gewicht wird mit eine Wahrscheinlichkeit von 99% von Intervall ( 1,977, 1,963) nicht überdeckt.

b). 1,97 +2,33 * 0,02 = 2,02

Ich bin mir nicht sicher, ob ich es richtig gerechnet habe. Vielleicht könnte mir jemand helfen? Vielen Dank

Answer 1

Hi,
ich denke, Du musst hier das Konfidenzintervall für den Mittelwert mit unbekannter Varianz berechnen, wie unter https://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall beschrieben.

D.h. das Konfidenzintervall ergibt sich zu

$$ [ \mu_u ; \mu_o  ] = \left[ \bar x - t_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n-1\right)} \frac{s}{\sqrt{n}} ; \bar x + t_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n-1\right)} \frac{s}{\sqrt{n}} \right] $$

mit \( \bar x = 1.97 \), \( s = 0.02 \), \( n= 200 \) und \( t_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n-1\right)} = 2.601 \)

Du musst die t-Verteilung nehmen und nicht die Standardnormalverteilung obwohl die Abweichungen ab \( n > 30  \) klein sind.

Das Intervall für den Mittelwert wird dann \(  [ \mu_u ; \mu_o  ] = [ 1.966 ; 1.974 ] \)

Ich denke, Du musst außerdem noch ein Konfidenzintervall für die Varianz berechnen mittels der Chi Quadrat Verteilung, weil die angegebene Streuung ebenfalls eine Zufallsvariable ist. Man erhält ein Intervall für die Standardabweichung von \( [ s_u ; s_o ] = [0.018 ; 0.023 ] \)

Das maximale Gewicht eines Briefes kannst Du dann durch $$ x_{Max} = \mu_o + s_o - s = 1.977 $$ abschätzen.

Comments

Danke für deine Tipps. Kannst du mir auch sagen , wie du die beiden Varianzen berechnest hast .

Danke